Medición del valor en riesgo de portafolios de renta fija usando modelos multifactoriales dinámicos de tasas de interés

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A pesar de no ser una medida perfecta, por su simplicidad, comparabilidad y fácil interpretación, el VaR se ha convertido en una medida estándar en la industria para medir la exposición al riesgo de mercado y en una herramienta de supervisión importante para la gran mayoría de instituciones financieras (<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0035">Berkowitz y O’Brien, 2002; Santos, Nogales, Ruiz y van Dijk, 2012; Abad, Benito y López, 2014; Caldeira, Moura y Santos, 2015</a>)<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0005">1</a>.Existen diferentes métodos para calcular el VaR de portafolios tanto de renta fija como de renta variable. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0010">Abad et al. (2014)</a> presentan una revisión exhaustiva de las diferentes metodologías de cálculo del VaR para portafolios de renta variable. Su trabajo resalta la existencia de una vasta literatura teórica y empírica respecto al cálculo del VaR para esa clase de activos. En contraste, la literatura respecto al cálculo del VaR para portafolios de renta fija es exigua. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a> califican este hecho como un importante vacío en la literatura financiera, dada la importancia de dichos activos en la conformación de portafolios bien diversificados y a que las particularidades de estos instrumentos exigen metodologías diferentes para el cálculo del VaR.La metodología propuesta en este artículo es similar a la usada por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a>. Dicha metodología se fundamenta en la utilización de una clase general de modelos dinámicos multifactoriales de tasas de interés para el cálculo del VaR. Estos modelos han mostrado un desempeño superior para pronosticar la estructura a plazos de tasas de interés (EPTI) (ver, por ejemplo, <a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0100">Diebold y Li, 2006; Diebold, Rudebusch y Aruoba, 2006; De Pooter, 2007; Beltratti y Colla, 2007; Diebold y Rudebusch, 2011; Rezende y Ferreira, 2011; Diebold y Rudebusch, 2013</a>); por tanto, es de esperarse que sean útiles en el cálculo del VaR. No obstante, como se resalta en la literatura (<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0165">Kim y Orphanides, 2012; Aït-Sahalia y Kimmel, 2010; Christensen, Diebold y Rudebusch, 2009</a>), estos modelos pueden ser difíciles de estimar. Así, la presente metodología no simplifica el cálculo del VaR respecto a las metodologías tradicionales pero busca hacerlo consistente con la teoría subyacente a los modelos dinámicos de la estructura a plazos de tasas de interés más utilizados en la literatura.Una importante ventaja de calcular el VaR con base en modelos dinámicos de la EPTI es que dicho método permite que los precios de los activos subyacentes al cálculo del VaR y la distribución empírica de los rendimientos del portafolio sean consistentes con la teoría que soporta estos modelos. En principio, utilizar modelos de la estructura a plazos de tasas de interés para estimar el VaR ofrece la oportunidad de hacer consistente la valoración de los instrumentos con la gestión del riesgo de los mismos, pues ambos se derivan de una misma estructura teórica. Por ejemplo, si se utilizan modelos de no arbitraje como base para calcular el VaR, la distribución empírica subyacente al cálculo del VaR de los precios de los títulos que conforman el portafolio puede hacerse consistente con la condición de no arbitraje (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0090">Date y Bustreo, 2015</a>). Otro ejemplo sería que si se utiliza un modelo dinámico donde el precio de mercado por riesgo cambia en el tiempo, los precios de los activos que conforman el portafolio serían consistentes con esta propiedad, propiedad que sería reflejada en el VaR. Adicionalmente, modelos de la estructura a plazos que puedan incorporar el efecto que sobre la misma tienen otras variables macroeconómicas, en principio, podrían ser utilizados para calcular un VaR que responda al efecto de dichas variables.Teniendo en cuenta la similitud del presente artículo con el trabajo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a>, es importante resaltar las diferencias entre los mismos. Primero, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a> utilizan la aproximación propuesta por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> respecto a los modelos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0210">Nelson y Siegel (1987)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0245">Svensson (1994)</a>. En este artículo, además del modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a>, se utiliza el modelo propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> y un modelo afín gaussiano de no arbitraje de tasas de interés de tres factores. Este último modelo se adopta basándose en los hallazgos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0260">Velásquez-Giraldo y Restrepo-Tobón (2016)</a>, quienes muestran que los modelos afínes de tasas de interés tienen un buen desempeño en pronosticar la EPTI colombiana. Por su parte, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0195">Maldonado, Pantoja y Zapata (2015)</a> muestran que el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> se ajusta adecuadamente a la estructura a plazos de tasas de interés colombiana. Finalmente, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0145">Gomez-Restrepo y Restrepo-Tobón (2016)</a> muestran que el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. 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De esta forma, se obtiene la distribución del valor del portafolio para el horizonte definido y el VaR se calcula como el cambio en el valor del portafolio correspondiente al percentil apropiado de dicha distribución (1 o 5%).En este trabajo se utilizan datos para Colombia entre 2003 y 2016. Para estimar diariamente los modelos se utilizan las tasas cero cupón, estimadas por la metodología de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0210">Nelson y Siegel (1987)</a>, entre los años 2003 y 2013<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0010">2</a>. Para simplificar la estimación del VaR, se considera un portafolio compuesto por un solo título de renta fija correspondiente a un TES del Gobierno Nacional con vencimiento en julio de 2024. Dicha simplificación no implica pérdida de generalidad, dado que la estimación del VaR propuesta del portafolio no depende de forma fundamental del número o de las características de los títulos que lo componen. Sin embargo, considerar un único título reduce significativamente el tiempo de cómputo del VaR.Los modelos considerados asumen que la dinámica de la estructura a plazos de tasas de interés está determinada por tres factores latentes usualmente asociados al nivel, la pendiente y la curvatura de dicha estructura. Estos tres factores latentes capturan parsimoniosamente la dinámica de la estructura a plazos de tasas de interés y son ampliamente aceptados en la literatura (<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0175">Litterman y Scheinkman, 1991; Duffee, 2002; Brandt y Chapman, 2003; Pérignon y Smith, 2007</a>). La metodología de estimación del VaR para cada modelo tiene tres etapas. Primero, se estima el modelo de forma secuencial para cada día entre el 2 de enero de 2014 y el 14 de julio de 2016 utilizando los datos disponibles desde el 2 de enero de 2003 hasta el día de valoración. Segundo, para cada uno de esos días se simulan 10.000 trayectorias de los tres factores latentes de la estructura a plazos de tasas de interés y el nivel de la curva de rendimientos para el día siguiente y se valora el portafolio utilizando cada una de las 10.000 trayectorias para cada día desde el 3 de enero de 2014 hasta el 15 de julio de 2016. Tercero, se calcula el VaR del portafolio utilizando el valor del portafolio correspondiente al percentil seleccionado para el cálculo del VaR (1 o 5%). Finalmente, para evaluar el desempeño relativo de los tres modelos respecto al cálculo del VaR, se utiliza la metodología de backtesting utilizando las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional del VaR y funciones de pérdida.A pesar del desempeño superior de los modelos dinámicos de tasas de interés para pronosticar la curva de rendimientos (<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0100">Diebold y Li, 2006; Diebold et al., 2006; De Pooter, 2007; Beltratti y Colla, 2007; Piazzesi, 2010; Diebold y Rudebusch, 2011; Duffee, 2013; Gürkaynak y Wright, 2012; Diebold y Rudebusch, 2013</a>), los resultados empíricos del presente trabajo indican que ninguno de los tres modelos considerados presenta un desempeño superior uniforme en la estimación del VaR de acuerdo a las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional o a las funciones de pérdidas. Adicionalmente, se encuentra que el modelo afín de no arbitraje presenta el mejor desempeño relativo respecto a la estimación del VaR basado en funciones de pérdida y un desempeño inferior al modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> respecto a las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional. Estas pruebas indican que el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> cumple con todas las propiedades deseables para el cálculo del VaR. Por su parte, el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> sobreestima uniformemente el VaR para todos los días considerados.Una posible razón del pobre desempeño de los modelos dinámicos en la estimación del VaR, consistente con la evidencia empírica y soportando su utilidad en el pronóstico de las tasas de interés, es que dichos modelos capturan adecuadamente solo el primer momento de la distribución de las tasas de interés a diferentes plazos. Los momentos de orden superior no son adecuadamente capturados, y son estos los que determinan su utilidad en la estimación del VaR de un portafolio de renta fija. La principal conclusión del estudio es que, entre los modelos considerados, el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> se desempeña adecuadamente respecto a las pruebas del backtesting del VaR y debe ser preferido en aplicaciones empíricas. No obstante, antes de utilizar estos modelos en la estimación del riesgo de portafolios de renta fija, se debe modelar conjuntamente tanto el nivel de las tasas de interés como la evolución de su matriz de varianzas y covarianzas. De esta forma, los trabajos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0215">Pérignon y Smith (2007)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0250">Trolle y Schwartz (2009)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0080">Creal y Wu (2015)</a> pueden ser un buen punto de partida.Lo que resta del presente artículo se organiza de la siguiente forma. La sección 2 expone los antecedentes teóricos de los modelos y metodologías usadas. La sección 3 expone los modelos usados y discute su proceso de estimación, así como el cálculo del VaR y su backtesting. La sección 4 presenta y analiza los resultados empíricos de la investigación. Finalmente, en la sección 5 se presentan las conclusiones de la investigación.2Marco teóricoEn esta sección se presenta la literatura relacionada tanto con la estimación de la EPTI como de la utilización de la misma en la estimación del VaR de portafolios de renta fija.2.1Modelos dinámicos de la estructura a plazos de tasas de interésLos modelos dinámicos para estimar la EPTI son ampliamente estudiados en la literatura. Algunos ejemplos de revisiones recientes al respecto incluyen <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0220">Piazzesi (2010)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0125">Duffee (2013)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0150">Gürkaynak y Wright (2012)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0115">Diebold y Rudebusch (2013)</a>. Dentro del estudio de este tipo de modelos, podría argumentarse que la contribución más importante en la estimación de la EPTI fue hecha por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0210">Nelson y Siegel (1987)</a>. El modelo de Nelson y Siegel (NS, en adelante) contempla tres factores que pueden ser asociados (en el límite) directamente al nivel, la pendiente y la curvatura de la EPTI. Dada su simplicidad, flexibilidad y fácil interpretación, el modelo de NS es el más usado por los analistas financieros y los bancos centrales para la estimación de la EPTI.El modelo de NS es un modelo estático y sirve para ajustar la EPTI solo para un instante de tiempo dado. Partiendo del modelo de NS, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> proponen versiones dinámicas para estimar la EPTI. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> tienen en cuenta que los parámetros del modelo de NS deben cambiar periodo a periodo y proponen estimarlos usando un vector autorregresivo (VAR) usando datos longitudinales para un periodo de tiempo específico. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> parten del enfoque propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> y proponen una representación de estado-espacio del modelo para la estimación de los factores latentes de la curva de rendimiento. Usando la metodología de filtro de Kalman, los autores calculan la predicción óptima de rendimiento y el correspondiente error de estimación. Una importante crítica de los modelos dinámicos basados en la especificación de NS es que dichos modelos no cumplen con la condición de no arbitraje. Recientemente, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0055">Christensen et al. (2009)</a> generalizaron el modelo de NS imponiendo la condición de no arbitraje y demuestran sus propiedades.Otra clase de modelos dinámicos de las tasas de interés establece una relación teórica entre las tasas de corto y largo plazo asumiendo que la tasa de corto plazo sigue un proceso estocástico. Los principales estudios de esta clase de modelos son los desarrollados por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0255">Vasicek (1977)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0075">Cox, Ingersoll Jr y Ross (1985)</a>, los cuales son generalizados en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0130">Duffie y Kan (1996)</a>, quienes muestran que la mayoría de dichos modelos pueden ser categorizados como modelos afín (lineales) de tasas de interés (modelos ATSM, por sus siglas en inglés Affine Term Structure Models), en los cuales las tasas de interés para cada vencimiento pueden ser representadas como una función lineal de factores no observables (variables latentes). Desde su trabajo, los ATSM han recibido una gran atención en la literatura.Una de las grandes ventajas de los ATSM es que la estructura a plazos construida a partir de los mismos es consistente con la condición de no arbitraje. Sin embargo, como muestra <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0120">Duffee (2002)</a>, dichos modelos no se desempeñan adecuadamente en la mayoría de las aplicaciones empíricas, especialmente respecto al pronóstico por fuera de muestra de la EPTI. Además, la estimación de estos modelos es difícil y sujeta a problemas de identificación de sus principales parámetros (ver, por ejemplo, <a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0165">Kim y Orphanides, 2012; Aït-Sahalia y Kimmel, 2010; Christensen et al., 2009</a>). Sin embargo, aunque la estimación de dichos modelos es todavía numéricamente difícil, desarrollos recientes han demostrado que su capacidad predictiva fuera de muestra ha mejorado sustancialmente (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0020">Aït-Sahalia y Kimmel, 2010</a>).Para el caso colombiano se han presentado diferentes metodologías para la estimación de la EPTI. En uno de los primeros estudios en el ámbito nacional, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0025">Arango, Melo y Vásquez (2001)</a> emplean el modelo de NS con el fin de obtener un primer acercamiento de la estructura de la curva en Colombia. Posteriormente, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0050">Castro y Melo (2010)</a> analizan la relación existente entre las variables macroeconómicas y la curva de rendimientos. En este estudio, los autores utilizan como modelo referente el presentado por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a>, estimando los parámetros a través de la aplicación de VaR. En otro estudio, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0195">Maldonado et al. (2015)</a> estiman la curva de rendimientos aplicando una reparametrización al modelo de NS con los factores de nivel, pendiente y curvatura; en este trabajo los autores ajustan la tasa de interés mediante filtros de Kalman. Un trabajo más reciente es el presentado por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0260">Velásquez-Giraldo y Restrepo-Tobón (2016)</a>, quienes, basándose en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0015">Aït-Sahalia (2008)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0020">Aït-Sahalia y Kimmel (2010)</a>, estiman la EPTI para el mercado colombiano usando ATSM, a partir de lo cual encontraron que los modelos ATSM se desempeñan de forma superior respecto a los otros modelos existentes en el pronóstico de la EPTI.2.2Calculo del VaR de portafolios de renta fijaEn la presente subsección se discuten los antecedentes del cálculo del VaR para portafolios de renta fija. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a> argumentan que la literatura respecto al cálculo del VaR de portafolios de renta fija es exigua y califican este hecho como un importante vacío en la literatura financiera (ver también <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi, 2007</a>). Dada la importancia de los instrumentos de renta fija en la construcción de portafolios bien diversificados, es sorprendente que no haya surgido una literatura igualmente importante dedicada al cálculo del VaR de portafolios de renta variable. Como se mencionó anteriormente, entre las pocas excepciones se encuentran <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira (2005)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez (2005)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar (2000)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito (2007)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi (2007)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0240">Su y Knowles (2010)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0090">Date y Bustreo (2015)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a>. En esta subsección se revisan cada uno de estos trabajos y se relacionan con la contribución del presente artículo.En contraste con los rendimientos de las acciones, los rendimientos históricos de los bonos no pueden ser utilizados directamente para el cálculo del VaR de un portafolio de renta fija (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0235">Sousa, Esquivel, Gaspar y Real, 2012</a>). La razón es que los plazos (madureces) de las tasas de interés implícitas en los precios históricos de los bonos no corresponden con los plazos que se requieren para el cálculo del VaR. Debido a lo anterior, los métodos tradicionales para el cálculo del VaR de portafolios de renta fija difieren de los métodos utilizados para calcular el VaR de portafolios de renta variable. De estos métodos, los más simples y tradicionales son: 1)duración; 2)mapeo de flujos de caja, y 3)análisis de componentes principales. Una buena presentación de estos modelos se encuentra en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0160">Jorion (2006)</a>.A pesar de su simplicidad, ninguno de estos métodos (duración, mapeo de flujos de caja, componentes principales) es completamente satisfactorio en la estimación del VaR de portafolios de renta fija (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0160">Jorion, 2006</a>). En primer lugar, el método de la duración solo tiene en cuenta movimientos paralelos de la curva de rendimientos. Por su parte, el método de mapeo de flujos de caja utiliza solo parcialmente la información contenida en la EPTI. Finalmente, el método de componentes principales hace un uso más eficiente de la información contenida en la EPTI pero no cuenta con un soporte teórico adecuado para ser utilizado individualmente en la estimación del VaR de portafolios de renta fija. Además, un componente esencial de estos métodos es la modelación de los rendimientos del portafolio, de su varianza histórica, o de la matriz de varianzas y covarianzas en los métodos de mapeo de flujos de caja y de componentes principales. Sin embargo, la literatura existente respecto a la modelación de las tasas de interés y de su volatilidad con propósitos de medir el VaR de portafolios de renta fija es poca.Debido a las limitaciones discutidas, se han buscado metodologías alternativas. Por ejemplo, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar (2000)</a> usa modelos univariables de series de tiempo para investigar las propiedades estadísticas del VaR de 25 portafolios de renta fija para el mercado alemán. Vlaar compara tres métodos: 1)simulación histórica (SH); 2)varianza-covarianza (VC), y 3)simulación Monte Carlo (SMC). El método de SH consiste en calcular la distribución empírica de los rendimientos del portafolio para un horizonte de tiempo determinado (uno, dos, cinco años). Este método asume que la distribución de rendimientos histórica del portafolio permanecerá estable y es representativa de la evolución del mismo durante los próximos 10días. En su estudio, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar (2000)</a> usa 250, 550, 750, 1.250 y 2.550 periodos de 10días de rendimientos y calcula sus correspondientes distribuciones empíricas. Con ello, el VaR del portafolio es calculado como el percentil 1% de la correspondiente distribución empírica. Sus resultados indican que este método subestima el VaR cuando en la simulación histórica se utilizan menos de 750 periodos de 10días de rendimientos y lo sobreestima cuando se toma 1.250 o más. La razón es que los datos corresponden a periodos de tiempo donde la volatilidad de las tasas de interés se redujo significativamente. De esta forma, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar (2000)</a> concluye que el método de la SH no ofrece una medida precisa del VaR; la principal razón es que el método de SH es sensible a cambios en la dinámica de las tasas de interés que disten del comportamiento típico histórico.El segundo método usado en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar (2000)</a> es el de SMC. Este método requiere hacer un supuesto sobre la distribución conjunta de los rendimientos de las fuentes de riesgo; en este caso, las tasas de interés. Así, el método requiere un supuesto sobre la media del cambio de las tasas de interés a diferentes plazos, calcular la matriz de varianzas y covarianzas de los cambios entre las tasas de interés a diferentes plazos y asumir una distribución particular. Los parámetros necesarios para dicho cálculo se realizan con información de cinco años anteriores a la fecha para la cual se calcula el VaR. Una característica importante del método es que el cambio esperado en el valor del portafolio se asume igual a cero. Además, se asume que las varianzas de las tasas de interés siguen un proceso Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) y que la distribución normal o la t de Student capturan la relación estadística entre las tasas de interés. Una vez se obtienen los parámetros (media, varianzas y covarianzas) de la distribución, se procede a simular 10.000 realizaciones de los cambios en las tasas de interés para cada día en el que se calcula el VaR y se valoran los portafolios.Los resultados presentados por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar (2000)</a> indican que el método de SMC subestima el VaR en la mayoría de los casos. Además, los VaR calculados difieren significativamente a lo largo del tiempo, lo cual indica que pequeños cambios en los parámetros estimados llevan a grandes cambios en las simulaciones. También encuentra que los VaR calculados con base en la distribución t de Student fueron inferiores a los calculados con la distribución normal. Dado que la primera tiene colas más pesadas que la distribución normal, este resultado es sorpresivo. Sin embargo, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar (2000)</a> argumenta que la estimación por máxima verosimilitud de la matriz de varianzas y covarianzas para la distribución t de Student da menos ponderación a la ocurrencia de valores extremos. Respecto al método de VC, el promedio de los VaR estimados son de magnitud casi idéntica a los calculados con el método de SMC. No obstante, el método VC tiene un buen desempeño respecto al número de violaciones del VaR, es decir, al número de veces en que la pérdida del portafolio excede al VaR. Por esta razón, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar (2000)</a> recomienda el método de VC sobre los demás.Otras dos contribuciones importantes respecto a la evaluación empírica del cálculo del VaR para portafolios de renta fija son los trabajos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira (2005)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez (2005)</a>. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira (2005)</a> modela la dinámica de la varianza y la covarianza de las tasas de interés de corto plazo de Alemania y Francia para el periodo que precede la entrada en vigencia del euro, a partir de lo cual encuentra que un modelo bivariado y asimétrico de series de tiempo con efectos de nivel es el que mejor caracteriza la dinámica de la matriz de varianzas y covarianzas entre las tasas de corto plazo en Francia y Alemania. De esta forma, el mejor desempeño para pronosticar dicha matriz lo ofrece un modelo de componentes de errores (VECH, por sus siglas en inglés Vector Error Correction with Heterocedasticity) con efectos de nivel pero sin efectos cruzados entre la volatilidad de la tasa de corto plazo francesa y alemana. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez (2005)</a> encuentran que los modelos de ponderación exponencial constante de medias móviles (EWMA, por sus siglas en inglés Exponentially Weighted Moving Average) tienen un desempeño similar pero son significativamente más simples de estimar.Soportados en los hallazgos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira (2005)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez (2005)</a> modelan el VaR de un portafolio de ponderaciones iguales de posiciones de corto plazo en el mercado de renta fija alemán, francés y japonés, usando varios modelos de series de tiempo para capturar la dinámica de la matriz de varianzas y covarianzas del portafolio. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez (2005)</a> encuentran que los modelos con mejor desempeño estadístico en el pronóstico de la matriz de varianzas y covarianzas son aquellos que capturan la volatilidad de acuerdo al nivel de las tasas de interés. Sin embargo, cuando el criterio es el desempeño en el cálculo del VaR, los resultados son altamente sensibles a los supuestos sobre la distribución de las tasas de interés. Al igual que <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira (2005)</a>, encuentran que modelos simples, como el EWMA, se desempeñan mejor en el cálculo del VaR.Estos trabajos, sin embargo, no se fundamentan en ninguna teoría que describa la EPTI para la modelación del VaR de portafolios de renta fija. De acuerdo a la revisión de la literatura, el primer trabajo en considerar la utilización de modelos de la EPTI en el cálculo del VaR de portafolios de renta fija es <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito (2007)</a>. Estos autores proponen estimar el VaR de un portafolio de renta fija utilizando SMC. La idea principal en su contribución es utilizar el modelo de NS para valorar los bonos considerados dentro del portafolio. Así, el valor de cualquier bono dentro del portafolio se puede expresar en función de los cuatro parámetros del modelo de NS y, por tanto, el valor total del portafolio depende exclusivamente de las características de los bonos dentro del portafolio y de los cuatro parámetros del modelo de NS. Luego, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito (2007)</a> especifican un modelo que describe la evolución de dichos parámetros. Una vez especificado dicho modelo, utilizan SMC para simular la distribución de rendimientos del portafolio ante choques a la evolución de los parámetros del modelo de NS. De esta forma, el cálculo del VaR del portafolio corresponde al percentil x% seleccionado para su cálculo. Adicionalmente, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito (2007)</a> seleccionan modelos ARIMA unifactoriales para modelar la dinámica de los parámetros del modelo de NS. Sin embargo, los autores concluyen que los movimientos generados en las tasas de interés al utilizar estos modelos en la SMC son, en su mayoría, implausibles. Por ello, los valores del VaR calculados siguiendo su procedimiento fueron considerados demasiado altos como para ser útiles en la gestión del riesgo de portafolios de renta fija.El siguiente trabajo existente en la literatura corresponde a <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi (2007)</a>. Estos autores también utilizan el modelo de NS para extraer los tres factores dinámicos implícitos en la EPTI, tal como lo exponen <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a>. Luego de extraer los factores, los autores utilizan una función de cópulas para modelar la dinámica conjunta de estos. En contraste con <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito (2007)</a>, quienes consideran que los factores evolucionan independientemente, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi (2007)</a> modelan la dinámica conjunta de estos factores utilizando la función de cópulas t de Student. Utilizando SMC, los autores generan 100.000 simulaciones de los parámetros del modelo de NS utilizando la función de cópulas estimada. Seguidamente se generan 100.000 posibles trayectorias para la EPTI y se valora el portafolio de renta fija, obteniendo la distribución empírica simulada del valor del portafolio. Con esta información, el VaR al x% se calcula como el percentil x% de dicha distribución.El estudio de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi (2007)</a> presenta evidencia empírica para un portafolio de bonos del mercado francés entre el 6 de febrero de 2004 y el 12 de octubre de 2005 para un total de 434 días de negociación. Primero estiman la curva de rendimientos usando la metodología descrita en el párrafo anterior, con la que encuentran que el R2 de los ajustes de las curvas diarias siempre es superior al 99% y los parámetros son estimados con una alta precisión. Utilizando las pruebas de backtesting de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec (1995)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0065">Christoffersen (1998)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0070">Christoffersen y Pelletier (2004)</a>, los autores reportan que el VaR al 95 y al 99% de confianza obtenidos con la metodología propuesta satisface todas estas pruebas. Adicionalmente, concluyen que dicha metodología es adecuada para el cálculo del VaR de portafolios de renta fija.Otra variante del modelo de NS para estimar el VaR es presentada en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0240">Su y Knowles (2010)</a>. Estos autores proponen tomar una aproximación lineal de primer orden a la ecuación del modelo de NS para hacer que las tasas de interés a diferentes plazos sean una función lineal de tres factores: nivel, pendiente y curvatura de la EPTI. Luego modelan el cambio en el valor del portafolio como una función de la duración, el valor del portafolio y el cambio esperado en las tasas de interés, el cual es una función lineal de los cambios en los factores de nivel, pendiente y curvatura. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0240">Su y Knowles (2010)</a> muestran que el VaR del portafolio puede calcularse con la aproximación delta-normal, donde la varianza del portafolio es una función de la matriz de varianzas y covarianzas de los tres factores. Sin embargo, los autores no presentan pruebas de backtesting para evaluar el desempeño del VaR.Por otra parte, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0090">Date y Bustreo (2015)</a> proponen una metodología para calcular el VaR de portafolios de renta fija usando un modelo de la tasa de interés de corto plazo de dos factores. El modelo es calibrado a partir del precio de los bonos transados en el mercado y luego los cambios en los precios de los bonos del portafolio son simulados usando el filtro de Kalman. Una de las principales ventajas de esta aproximación es que los precios de los bonos simulados mantienen la propiedad de ser consistentes con la condición de no arbitraje. Esta es una importante propiedad que no comparte ninguno de los métodos utilizados previamente en la literatura. <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0090">Date y Bustreo (2015)</a> encuentran que el método propuesto presenta un buen desempeño respecto a las pruebas de backtesting de cubrimiento incondicional y condicional.El trabajo más reciente, y más afín al presente artículo, es el de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a>. Estos autores utilizan especificaciones dinámicas del modelo de NS y de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0245">Svensson (1994)</a> para estimar el VaR de portafolios de renta fija. La metodología propuesta puede acomodar una gran cantidad de modelos dinámicos de tasas de interés y heteroscedasticidad condicional de las tasas de interés. Adicionalmente, la metodología permite obtener fórmulas cerradas para valorar los bonos pertenecientes a un portafolio de instrumentos de renta fija en función de los factores latentes de los modelos de NS y Svensson. A partir de estas expresiones, es posible calcular, usando SMC, la distribución de rendimientos del portafolio y, consecuentemente, su VaR. La modelación de los factores latentes sigue la metodología propuesta en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a>. Una vez obtenidos los factores latentes, su volatilidad es calculada utilizando modelos autorregresivos de correlación dinámica. Para calcular el VaR del portafolio, se simulan trayectorias de los factores latentes para estimar el cambio en el valor del portafolio y se utiliza la matriz de varianzas y covarianzas estimada de los factores para calcular el VaR utilizando el método delta-normal. De acuerdo a los resultados del backtesting, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a> concluyen que dicho método se desempeña adecuadamente como para ser utilizado como modelo interno de cálculo del VaR.Para Colombia, estudios relacionados con la gestión del riesgo en portafolios de renta fija son los presentados por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0205">Melo y Granados (2011)</a>, quienes bajo diferentes metodologías analizan el desempeño de estimaciones del VaR y el VaR condicional para un conjunto de activos colombianos, incluyendo el precio implícito de títulos de tesoro a 10años (TES). A su vez, los autores incorporan dentro de su análisis la verificación de los requerimientos exigidos por la regulación actual en el país de estudio, con el fin de determinar si son suficientes para evaluar apropiadamente las estimaciones del VaR. Los resultados encontrados para la estimaciones del VaR indican que para pronósticos con horizonte de un día el desempeño de las medidas de riesgo es apropiado, pero para el cálculo de un VaR multiperiodo ninguna metodología mide adecuadamente el VaR.3MetodologíaEl presente trabajo considera modelos multifactoriales dinámicos para la estimación de la EPTI. A diferencia de los modelos existentes en la literatura, además de utilizar la versión dinámica del modelo de NS propuesta por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a>, también se emplea el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> y un modelo de no arbitraje gaussiano afín de tasas de interés. A continuación se exponen los tres modelos utilizados, en donde se usan dos variaciones modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0210">Nelson y Siegel (1987)</a> y ATSM para la estimación de la curva de rendimientos para el mercado colombiano.3.1Modelos dinámicos de la EPTIExiste una gran variedad de modelos dinámicos de tasas de interés que pueden clasificarse en tres grandes categorías. La primera categoría incluye modelos teóricamente rigurosos pero con pobre desempeño empírico. La segunda incluye modelos empíricamente exitosos pero con pobre soporte teórico. Y la tercera incluye modelos que tienen algún sustento teórico y que se desempeñan adecuadamente en la práctica (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0115">Diebold y Rudebusch, 2013</a>). A esta última categoría pertenece el modelo dinámico de Nelson y Siegel (DNS) derivado de los trabajos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> (DL, en adelante) y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> (DRA, en adelante) y el modelo de no arbitraje de Nelson y Siegel (AFNS, en adelante) de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0060">Christensen, Diebold y Rudebusch (2011)</a>. En el presente trabajo se emplean las versiones DL y DRA. Respecto a los modelos de no arbitraje, se emplea un modelo gaussiano afín de no arbitraje con tres factores (ATSM, en adelante), el cual ha sido empleado con éxito en la práctica (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0020">Aït-Sahalia y Kimmel, 2010</a>). A continuación se expone brevemente la especificación de cada uno de estos modelos.Inicialmente, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> proponen una versión dinámica del modelo estático de NS para modelar la EPTI. De esta forma, su especificación viene dada por:<elsevierMultimedia ident="eq0005"></elsevierMultimedia>donde ytτ es un vector de los rendimientos al vencimiento de los títulos con vencimiento en τ. β0t, β1t, β2t son interpretados como factores dinámicos latentes de nivel, pendiente y curvatura, donde, a diferencia del modelo original y estático de NS, estos factores varían en el tiempo. Para hacer que el modelo de la ecuación1 sea lineal en los parámetros, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> proponen mantener el parámetro λ constante; este parámetro está asociado a la curvatura de la EPTI. En particular, para el mercado de Estados Unidos, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> fijan dicho valor en λ=0, 0609. Con datos correspondientes al vector ytτ y su correspondiente vector de vencimientos τ, para cada periodo t, se estiman los parámetros β0t, β1t, β2t para cada periodo. Por lo tanto, para pronosticar la EPTI para un periodo t+h se utiliza la siguiente especificación:<elsevierMultimedia ident="eq0010"></elsevierMultimedia>donde βi,t+h=cˆi+γˆiβˆi,t para i=0, 1, 2, y donde los coeficientes cˆi, γˆi son estimados utilizando modelos univariados autorregresivos de series de tiempo para cada βˆi.Bajo el enfoque propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> proponen la siguiente variación al modelo DRA:<elsevierMultimedia ident="eq0015"></elsevierMultimedia>donde ytτ son los rendimientos de los títulos con vencimiento en τ, y Lt, St, Ct son los factores del modelo (no observables) con variación en el tiempo asociados a nivel, pendiente y curvatura, respectivamente. El valor de λ es igualmente fijado en 0,0609 para el caso de Estados Unidos. El modelo de la ecuación3 puede especificarse bajo la representación de un sistema de estado-espacio. Partiendo del modelo DL se reformula el proceso que siguen los factores pasando de un AR (1) a un VAR (1), lo cual da lugar a la siguiente especificación:<elsevierMultimedia ident="eq0020"></elsevierMultimedia>donde cada una de las observaciones de las series de datos para nivel, pendiente y curvatura se deflacta con su respectiva media μ. La ecuación de observaciones que relaciona los rendimientos con los factores no observables se escribe como:<elsevierMultimedia ident="eq0025"></elsevierMultimedia>donde t=1,…,T. En notación matricial el modelo se reescribe como el siguiente sistema de estado-espacio con los factores ajustados por su media.<elsevierMultimedia ident="eq0030"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0035"></elsevierMultimedia>donde A es una matriz (3×3) que contiene parámetros no restringidos, μ es un vector de estado (3×1) que contiene parámetros no restringidos y la matriz Λ contiene el parámetro λ y los loadings que acompañan a cada factor. La estimación de los parámetros se realiza a través del filtro de Kalman, lo cual requiere que las perturbaciones de ruido blanco (WN) y de medición sean ortogonales para iniciar el sistema:<elsevierMultimedia ident="eq0040"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0045"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0050"></elsevierMultimedia>donde Q es la matriz de covarianzas de los factores y H es la matriz de covarianza de los rendimientos. El modelo impone la condición de que las perturbaciones del factor de la ecuación de estado ηt están correlacionadas y que por lo tanto la correspondiente matriz de covarianza Q es no diagonal. En el caso de la matriz H, el modelo impone diagonalidad sobre ella, implicando que las desviaciones de los rendimientos para diferentes vencimientos no están correlacionadas.De otro lado, los ATSM asumen que la tasa de interés de corto plazo es una función afín<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0015">3</a> de un vector de estado X(t) de N factores subyacentes, los cuales pueden ser observables (variables macroeconómicas) o latentes (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0220">Piazzesi, 2010</a>).<elsevierMultimedia ident="eq0055"></elsevierMultimedia>donde y corresponde los rendimientos de la curva cero cupón con vencimiento en τ, δ0∈Rn y el vector δ1∈Rn. De esta forma, se asume que el vector de estado sigue un proceso de difusión afín bajo la medida de riesgo neutral Q:<elsevierMultimedia ident="eq0060"></elsevierMultimedia>donde K˜, Σ∈RNxNθ˜∈RN y W˜ es un movimiento browniano independiente N dimensional y S(t) es una matriz diagonal NxN, donde [S(t)]i,i=αi+βiTX(t), con αi, βi∈RN.El precio del mercado de riesgo Λ(X)∈RN es también especificado en orden de obtener la dinámica física. Siguiendo la literatura, se asume que ΛX=S(t)λ, donde λ es un vector de constantes (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0085">Dai y Singleton, 2000</a>). Por lo tanto, el proceso de estado es también afín bajo la medida P (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0130">Duffie y Kan, 1996</a>):<elsevierMultimedia ident="eq0065"></elsevierMultimedia>Bajo esta estructura, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0130">Duffie y Kan (1996)</a> muestran que los rendimientos para cualquier vencimiento τ pueden ser obtenidos como una función afín del vector de estado:<elsevierMultimedia ident="eq0070"></elsevierMultimedia>donde los coeficientes A(t) y Bt son la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:<elsevierMultimedia ident="eq0075"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0080"></elsevierMultimedia>Con a0=0, b0=0→, Aτ=−a(τ)/τ y Bτ=−b(τ)/τ. Estas ecuaciones imponen las restricciones de no arbitraje (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0130">Duffie y Kan, 1996</a>).3.2Cálculo del VaR de carteras de renta fijaEn el presente artículo se propone una metodología para el cálculo del VaR en la cual se simulan escenarios para las tasas de interés futuras de acuerdo con tres modelos de tasas de interés ampliamente utilizados en la literatura. Cada modelo asume que existen tres factores o variables latentes (el nivel, la pendiente y la curvatura) que explican la mayor parte de la dinámica de la EPTI, expresando las tasas de interés (para cualquier plazo) en función de estos factores. De esta manera, y dada la dinámica de estos factores implícitos en cada modelo, se pueden simular trayectorias futuras para los factores y, a partir de su relación con las diferentes tasas de interés para diferentes plazos, obtener tasas de interés simuladas. Esto permite simular un gran número de trayectorias posibles de la futura curva de rendimientos, consistentes con la dinámica implícita de cada modelo. Con estas tasas luego se valoran los títulos dentro del portafolio y se construye la distribución empírica del valor del mismo. Una vez obtenida la distribución empírica simulada del valor del portafolio, se calculan los cambios posibles respecto a su valor actual y se selecciona el percentil de la distribución de cambios del valor del portafolio correspondiente al nivel de confianza con que se está estimando el VaR. La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0005">figura 1</a> ilustra la metodología propuesta para calcular el VaR de portafolios de renta fija a partir de modelos dinámicos de la estructura a plazos de tasas de interés.<elsevierMultimedia ident="fig0005"></elsevierMultimedia>3.2.1Estimación de los modelosA partir de los parámetros calculados por Infovalmer para el mercado de tasas de interés colombiano correspondientes al modelo de Nelson y Siegel (Betas), se calcula la curva de rendimientos diaria entre los años 2003 a 2013. Posteriormente, se calculan los factores de pendiente, nivel y curvatura para cada modelo<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0020">4</a>. Las estimaciones de los modelos DL y DRA siguen las metodologías utilizadas en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a>, respectivamente. Por su parte, la estimación de los factores del ATSM se realiza aplicando la técnica de estimación de máxima verosimilitud propuesta por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0015">Aït-Sahalia (2008)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0020">Aït-Sahalia y Kimmel (2010)</a> (los detalles de dicha estimación se pueden encontrar en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0260">Velásquez-Giraldo y Restrepo-Tobón, 2016</a>). Los vencimientos para los cuales se estiman la curva de rendimientos corresponden a 0,25, 0,5, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 y 10años y la estimación se hace para un modelo de tres factores no observables. La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#tbl0005">tabla 1</a> presenta las estadísticas descriptivas de las tasas de interés utilizadas para la estimación entre el 3 de enero de 2003 y el 30 de diciembre de 2013. La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0010">figura 2</a> ilustra la curva de rendimientos estimada con la metodología NS para dicho periodo.<elsevierMultimedia ident="tbl0005"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="fig0010"></elsevierMultimedia>3.2.2Pronóstico de la EPTICon los datos de las tasas de interés entre 2003 y 2013 para los plazos seleccionados, se estiman los factores subyacentes para cada uno de los modelos considerados (DL, DRA y ATSM), comenzando el día 2 de enero de 2014. Con los factores y parámetros estimados para este día se hacen 10.000 pronósticos de la curva de rendimiento para el siguiente día (3 de enero de 2014). Este procedimiento se repite secuencialmente para 615 días adicionales entre el 3 de enero de 2014 y el 14 de julio de 2016, para un total de 616 días. Como resultado se obtienen 10.000 diferentes curvas de rendimiento para cada día y para cada modelo. A continuación se detalla el proceso de pronóstico (simulación) de la curva de rendimientos con cada modelo.En el caso del modelo DL, se ajusta un modelo autorregresivo AR(1) a cada una de las diferencias diarias de los factores Δβi,t=αi*Δβi,t−1+εi,tconi=0, 1, 2; donde εi,t es una perturbación aleatoria con media cero. Para la simulación de las curvas de rendimiento a un día se adopta una metodología de bootstrapping que consiste en representar la perturbación con una de sus realizaciones anteriores. Así, la ecuación de simulación para cada factor en el modelo de DL es βˆi,t=βi,t−1+αiˆ*Δ βi,t−1+ε˜t, donde αiˆ es estimado por OLS y ε˜t corresponde a uno de los residuales de la estimación seleccionado aleatoriamente con reemplazo.Por su parte, el modelo DRA tiene en cuenta la posible relación entre los factores y entre sus perturbaciones. De acuerdo con las ecuaciones 4 y 8, la ecuación de simulación para la obtención de los factores es:<elsevierMultimedia ident="eq0085"></elsevierMultimedia>donde ηˆt+1 es una simulación de una variable aleatoria normal multivariada de media cero y matriz de covarianzas Qˆ. De esta forma, luego de obtener los factores para cada día t, se toma la esperanza de la ecuación (7) para pronosticar las tasas de interés del siguiente periodo.Finalmente, el ATSM es un modelo continuo. Para la simulación a partir de dicho modelo se requiere utilizar un método de discretización. En este caso se aplica el esquema numérico de Euler, obteniendo la siguiente ecuación de simulación:<elsevierMultimedia ident="eq0090"></elsevierMultimedia>donde Wˆt+1 es una simulación de una variable aleatoria normal estándar y δ=1/252 dado que se simulan datos diarios. Por su parte, Xt al ser no observable, debe obtenerse cada día invirtiendo la ecuación (15) para los rendimientos al vencimiento de 0,25, 4 y 10años.3.2.3Cálculo del VaRUna vez se obtienen las EPTI simuladas para cada modelo y los 616 días, se procede a valorar el portafolio para cada uno de esos días. La valoración se hace con las curvas de rendimientos simuladas para cada uno de los modelos utilizados (DL, DRA, ATSM). De esta forma se obtienen tres distribuciones simuladas del valor del portafolio (una por modelo) para cada día perteneciente al periodo de pronóstico. A partir de la distribución de los valores del portafolio, se puede calcular el cambio en el valor del portafolio con respecto al día anterior, lo cual produce tres distribuciones por día de los cambios en el valor del portafolio. Para calcular el VaR con un nivel de confianza del 95%, se toma el percentil 5 de estas distribuciones como estimación del VaR del portafolio a un día. Para el caso del presente estudio, el portafolio de renta fija está compuesto por el Título del Gobierno Colombiano (TES) con vencimiento en julio de 2024, el cual es uno de los más negociados en el mercado.3.3BacktestingDe acuerdo con la literatura, el proceso de backtesting debe ser realizado con más de un método, puesto que los resultados de un solo test pueden no ser suficientes para evaluar el desempeño de un modelo de estimación del VaR (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0155">Haas, 2001</a>). En este trabajo se aplican las pruebas de cubrimiento incondicional y cubrimiento condicional del VaR. Estas pruebas, sin embargo, no son apropiadas para comparar el desempeño relativo de los modelos respecto al cálculo del VaR. Para comparar el desempeño de estos modelos se utiliza el método de funciones de pérdida propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0190">Lopez (1999)</a>. Estas medidas se describen a continuación.3.3.1Pruebas de cubrimiento incondicionalLas pruebas de cubrimiento incondicional se basan en determinar el número de excepciones<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0025">5</a> del VaR. Si el número de excepciones es menor que el correspondiente, de acuerdo con el nivel de confianza<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0030">6</a> seleccionado, significa que el riesgo del sistema está sobreestimado, y en caso contrario se concluye que el riesgo está siendo subestimado.Siguiendo a <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec (1995)</a>, se aplican dos tipos de test que determinan el desempeño de los modelos en cuanto a la estimación del VaR. El primero es el test de proporción de fallos (POF test). Este test compara si el número de excepciones encontradas es consistente con el número de excepciones sugeridas por el nivel de confianza. Bajo la hipótesis nula de que el modelo es correcto, el número de excepciones sigue una distribución binomial. Así, la hipótesis nula se puede escribir como H0:p=pˆ=x/T, donde x es el número de excepciones, T es el número de observaciones y p se define como p=(1−c), donde c es el nivel de confianza bajo el que se realiza el backtesting.De acuerdo con <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec (1995)</a>, el estadístico LRPOF asociado a la función de verosimilitud se distribuye asintóticamente como una distribución chi-cuadrada con un grado de libertad. El segundo test es la prueba de tiempo hasta el primer fallo (TUFF test) propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec (1995)</a>. Esta prueba tiene como fin medir el periodo de tiempo que se tarda en presentarse la primera excepción y se basa en supuestos similares a los del LRPOF y se distribuye asintóticamente χ2 con un grado de libertad.3.3.2Pruebas de cubrimiento condicionalLas pruebas de cubrimiento condicional, al igual que las de cubrimiento incondicional, están basadas en el número de excepciones. Sin embargo, bajo este enfoque se espera que las excepciones se distribuyan uniformemente en el tiempo y que sean independientes; asegurando que la estimación del VaR no se vea significativamente afectada ante cambios de volatilidad y correlaciones. Siguiendo a <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0065">Christoffersen (1998)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0155">Haas (2001)</a>, se aplican dos pruebas que permiten medir el cumplimiento de la propiedad de cubrimiento condicional en la estimación del VaR. La primera es la prueba de intervalos de pronóstico de Christoffersen. Esta prueba, además de contrastar el número de excepciones respecto al ideal teórico, incluye un estadístico para determinar la independencia de las excepciones (determinar si la excepción de un día depende del día anterior). El estadístico para esta prueba está definido por LRcc=LRPOF+LRind, donde LRcc se distribuye χ2 con dos grados de libertad. Otra prueba utilizada en el backtesting es el test mixto de Kupiec (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0155">Haas, 2001</a>), dado por LRmix=LRPOF+LRind, donde LRmix se distribuye χ2 con n grados de libertad, siendo n el número de excepciones. De esta forma, el término LRPOF corresponde al sugerido por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec (1995)</a> y el LRind es el estadístico utilizado para poner a prueba la independencia de las excepciones.3.3.3Funciones de pérdidaLas funciones de pérdida se basan en determinar la magnitud del exceso reportado entre las excepciones y la pérdida real. Siguiendo la propuesta de <a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0185">Lopez (1998, 1999)</a>, se evalúa el desempeño de los modelos de acuerdo con los resultados obtenidos al minimizar las funciones de pérdida. Estas funciones se definen por L=1+(xt+1−VaRt)2 si xt+1≤VaRt(α) e igual a cero en otro caso. En este caso, xt+1 es el retorno realizado del portafolio y el VaRt es el VaR estimado en el momento t (como porcentaje). El estadístico definido para esta prueba se basa en el cálculo de la pérdida promedio de la muestra, la cual es igual a Lˆ=1/T∑tTL, donde el valor de Lˆ para cada modelo es comparado entre estos, de tal forma que el modelo de mejor desempeño es aquel para el cual la función de pérdida es menor.4Resultados empíricosEn la <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#tbl0010">tabla 2</a> se reporta el MSE y RMSE para las tasas de interés estimadas por los tres modelos respecto a las tasas de interés calculadas bajo la metodología de NS. Los tres modelos presentan un alto grado de ajuste para las tasas correspondientes a 0,25, 0,5, 1, 2, 4, 5, 7, 9 y 10años.<elsevierMultimedia ident="tbl0010"></elsevierMultimedia>La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0015">figura 3</a> ilustra el valor del VaR para el periodo comprendido entre el 3 de enero de 2014 y el 15 de julio de 2016. La línea negra muestra al cambio real diario en el valor del portafolio. Por su parte, la línea de tono más tenue ilustra el valor del VaR del portafolio estimado usando el método de duración. En la figura se presentan adicionalmente las estimaciones del VaR obtenidas al usar las metodologías expuestas en la sección 3 para cada uno de los modelos discutidos: ATSM, DRA y DL.<elsevierMultimedia ident="fig0015"></elsevierMultimedia>El proceso de backtesting para los 616 diferentes VaR calculados se hace con los niveles de confianza del 90, del 95, del 97,5 y del 99%. Para estos niveles de confianza, el número de veces que se espera que la pérdida real del portafolio sea superior (en valor absoluto) al valor del VaR estimado es 62, 31, 15 y 6, respectivamente. En cuanto al VaR calculado para cada día con el modelo DL no se encuentra ninguna excepción, lo cual es coherente con los resultados ilustrados en la <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0015">figura 3</a>, donde se observa que bajo este modelo el resultado del VaR sobreestima significativamente la pérdida del portafolio. De otro lado, el número de excepciones que presentan los modelos DRA y ATSM son 4 y 65, respectivamente. Como se ilustra en la <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0015">figura 3</a>, el VaR calculado para cada día con el modelo ATSM sigue de cerca la verdadera pérdida del portafolio, lo que hace que el número de excepciones sea mayor para este modelo y muy por encima de las excepciones teóricas esperadas (6 a un nivel de confianza del 99% para el backtesting). Finalmente, el número de excepciones para el modelo DRA es significativamente menor (4), número cercano al esperado basado en un nivel de confianza del 99%.Para determinar si estos valores son estadísticamente diferentes a los esperados para cada nivel de confianza se debe utilizar la prueba POF de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec (1995)</a>. La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#tbl0015">tabla 3</a> presenta los resultados asociados a esta prueba para cuatro diferentes niveles de confianza. Es importante aclarar que estos niveles de confianza no corresponden a los usados en el calculó el VaR sino al nivel de confianza con el que se pretende realizar la prueba de backtesting. De esta forma, la primera columna indica el modelo, la segunda el nivel de confianza del backtesting, la tercera el valor crítico del test, la cuarta columna el valor del estadístico calculado y la quinta indica si la hipótesis nula de que el número de excepciones es igual a las esperadas se acepte (A) o se rechace (R). Para el modelo DRA, para un nivel de confianza del 99%, se acepta que el número de excepciones observadas (4) está en línea con el número de excepciones esperadas. Para los demás niveles de confianza se rechaza la hipótesis nula. Para el modelo ATSM, solo si se baja a un nivel de confianza inferior al 90% se aceptaría dicha hipótesis. Finalmente, el modelo DL, por sobreestimar sistemáticamente el VaR, no presenta ninguna excepción y, por tanto, no es posible calcular el estadístico de la prueba POF.<elsevierMultimedia ident="tbl0015"></elsevierMultimedia>De acuerdo a estos resultados, los tres modelos se desempeñan pobremente respecto al número de excepciones encontradas versus las esperadas. De un lado, el DRA presenta muy pocas excepciones respecto a las esperadas, mientras que el ATSM presenta muchas. Sin embargo, la prueba POF solo tiene en cuenta el número de excepciones y no cómo esas excepciones se presentan en el tiempo. Como se mencionó anteriormente, la prueba TUFF resuelve este problema. Sin embargo, los resultados de esta prueba deben verse con cuidado, dado que esta tiene un bajo poder y, por tanto, no debe ser un indicador definitivo en cuanto a las conclusiones del desempeño de un modelo en la estimación del VaR.La siguiente prueba de backtesting considerada es la prueba de independencia de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0065">Christoffersen (1998)</a>. Para esta prueba se encontró que la hipótesis nula de que las excepciones son independientes en el tiempo se debe rechazar para la mayoría de los niveles de confianza considerados. Por otra parte, aplicando el test mixto de Kupiec, para evaluar la hipótesis nula de que el número de excepciones está en línea con las esperadas y que las mismas ocurren de forma independiente en el tiempo, se encontró que el modelo DRA tiene un desempeño adecuado para niveles de confianza del 97,5 y del 99%.Respecto a las pruebas basadas en las funciones de pérdida, se encuentra que el modelo que presenta la pérdida más pequeña es el modelo ATSM. El estadístico de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0190">Lopez (1999)</a> es igual a 14,19, 3,81, y 1,46, para los modelos DL, DRA y ATSM, respectivamente. Sin embargo, teniendo en cuenta el pobre desempeño del modelo ATSM en las pruebas de backtesting debido a la subvaloración de la pérdida esperada, no es sorprendente que en la prueba de funciones de pérdida este modelo tenga un mejor desempeño.Tomados en conjunto, los resultados indican que el VaR estimado bajo la metodología propuesta se desempeña pobremente respecto a las principales pruebas de backtesting existentes en la literatura. Este resultado es sorprendente debido a que los modelos dinámicos de tasas de interés han ganado una gran popularidad en los últimos años para modelar la estructura a plazos de tasas de interés. Una de las razones podría ser que, aunque estos modelos son dinámicos, dicha propiedad solo captura la dinámica del nivel de las tasas de interés, pero no la dinámica de sus volatilidades. Los tres modelos investigados asumen que la matriz de varianzas y covarianzas de los factores latentes a cada modelo es constante, lo cual limita su utilidad en el cálculo del VaR. Modelos que relajen este supuesto deberían ofrecer un mejor desempeño y ser más adecuados para la gestión del riesgo de portafolios de renta fija. En futuras investigaciones podría ser fructífero utilizar modelos dinámicos con volatilidad dinámica o estocástica.5ConclusionesEste artículo tiene como objetivo investigar el desempeño relativo de dos clases de modelos dinámicos de estructura a plazo de tasas de interés respecto a la estimación del VaR de un portafolio de renta fija. La principal hipótesis del estudio es que, dado que los modelos dinámicos de tasas de interés han mostrado un buen desempeño empírico en pronosticar la curva de rendimientos, el VaR calculado a partir de estos modelos debería tener un buen desempeño respecto a las pruebas de backtesting más utilizadas en la literatura.La principal justificación para utilizar estos modelos en el cálculo del VaR es su buen desempeño en pronosticar la curva de rendimientos (<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0100">Diebold y Li, 2006; Diebold et al., 2006; De Pooter, 2007; Beltratti y Colla, 2007; Piazzesi, 2010; Diebold y Rudebusch, 2011, 2013; Duffee, 2013; Gürkaynak y Wright, 2012</a>). No obstante, los resultados empíricos indican que ninguno de los tres modelos considerados presenta un desempeño superior uniforme en la estimación del VaR de acuerdo a las pruebas de backtesting utilizadas.Los modelos usados en el presente estudio son el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a>, el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> y un modelo afín gaussiano de no arbitraje. El modelo afín de no arbitraje presenta el mejor desempeño relativo respecto a la estimación del VaR basado en funciones de pérdida, pero es el modelo que lleva a cometer más errores en el cálculo del VaR. En general, este modelo subestima el VaR. Por su parte, el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> tiene un buen desempeño respecto a las prueba de cubrimiento condicional e incondicional del VaR. Esto indica que dicho modelo podría ser un buen candidato para ser utilizado en el cálculo del VaR. Las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional indican que el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> cumple con todas las propiedades del VaR para niveles de confianza del 97,5 y del 99% en las pruebas de backtesting. Adicionalmente, el valor de la función de pérdida para dicho modelo parece adecuado en comparación con el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> y el ATSM. Por el contrario, el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li (2006)</a> sobreestima uniformemente el VaR para todos los días considerados.Una posible razón que explica el pobre desempeño de los modelos dinámicos en la estimación del VaR es que dichos modelos capturan adecuadamente solo el primer momento de la distribución de las tasas de interés a diferentes plazos. Esta hipótesis es consistente con la evidencia empírica soportando su utilidad en el pronóstico de las tasas de interés. No obstante, al parecer los momentos de orden superior de las tasas de interés a diferentes plazos no son adecuadamente capturados y son precisamente estos momentos los que determinan su utilidad en la estimación del VaR. Esto podría deberse a que los modelos dinámicos de tasas de interés asumen que la matriz de varianzas y covarianzas de los factores latentes que explican la dinámica de la estructura a plazos de tasas de interés es constante. Relajar este supuesto parece conducir a mejores resultados. Por ejemplo, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a> modelan dicha matriz asumiendo que las volatilidades de dichos factores cambian en el tiempo y obtienen resultados apropiados en cuanto al cálculo del VaR. No obstante, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al. (2015)</a> modelan la volatilidad de dichos factores independientemente del primer momento de la distribución, lo cual es inconsistente con los supuestos realizados en la estimación de los modelos.De esta forma, la principal conclusión del estudio es que entre los modelos considerados, el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a> se desempeña adecuadamente respecto a las pruebas del backtesting del VaR y debe ser preferido en aplicaciones empíricas. No obstante, antes de utilizar dichos modelos en la estimación del riesgo de portafolios de renta fija, se debe modelar conjuntamente tanto el nivel de las tasas de interés como la evolución de su matriz de varianzas y covarianzas. Debe tenerse en cuenta que la utilidad de dichos modelos para estimar el VaR de portafolios de renta fija debe ser sopesada respecto a los costos asociados a la implementación y estimación de dichos modelos. Con respecto a este punto, los trabajos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0215">Pérignon y Smith (2007)</a>, <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0250">Trolle y Schwartz (2009)</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0080">Creal y Wu (2015)</a> pueden ser un buen punto de partida, lo cual se deja para futuras investigaciones.Conflicto de interesesLos autores declaran no tener ningún conflicto de intereses." 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We find that that the model proposed by Diebold, Rudebusch and Aruoba performs appropriately in VaR backtesting statistical tests, while the model from Diebold and Li and a no-arbitrage akin term structure model display serious problems. The three models assume that the variance-covariance matrix for their underlying factors is constant, which limits their usefulness in estimating the VaR. Therefore, those models that relax this assumption should perform better and be more adequate for risk-management of fixed-income portfolios." ] "pt" => array:2 [ "titulo" => "Resumo" "resumen" => "Neste artigo, o desempenho de três modelos dinâmicos da estrutura a prazos das taxas de juros para estimar o valor em risco (VaR, por sua tradução de Value at Risk) de carteiras de renda fixa é avaliado. Assim, verificou-se que o modelo de Diebold, Rudebusch e Aruoba funciona adequadamente respeitar no que se refere ao backtesting do VaR; enquanto o modelo de Diebold e Li e um modelo relacionado de não arbitragem apresentam um mau desempenho. Os três modelos assumem que a matriz de variâncias e covariâncias dos fatores latentes em cada modelo é constante, o que limita a sua utilidade no cálculo do Valor em Risco. Portanto, os modelos que relaxam esta hipótese devem proporcionar melhor desempenho e ser mais adequados para a gestão de risco das carteiras de renda fixa." ] ] "NotaPie" => array:6 [ 0 => array:3 [ "etiqueta" => "1" "nota" => "En Colombia, la Superintendencia Financiera regula y supervisa la exposición al riesgo de tasas de interés de portafolios de renta fija utilizando la medida del VaR. Al respecto, la regulación actual contempla dos alternativas para el cálculo de esta medida: 1)metodología estándar desarrollada por el ente regulador, y 2)modelos internos propuestos por cada entidad financiera." "identificador" => "fn0005" ] 1 => array:3 [ "etiqueta" => "2" "nota" => "Como muestran <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0260">Velásquez-Giraldo y Restrepo-Tobón (2016)</a>, la estimación de los modelos multifactoriales dinámicos utilizando tasas cero cupón derivadas con la metodología no paramétrica de bootstrapping conlleva resultados similares." "identificador" => "fn0010" ] 2 => array:3 [ "etiqueta" => "3" "nota" => "Una función F:RN→RMse dice que es afín si F(X)=A+B*X para un vector A y una matriz B." "identificador" => "fn0015" ] 3 => array:3 [ "etiqueta" => "4" "nota" => "El valor de λ para el modelo DL se fija como el promedio de este parámetro estimado para Colombia por la metodología de NS. Siguiendo a <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al. (2006)</a>, en el modelo de DRA este parámetro se hace igual al valor correspondiente al vencimiento que hace que el componente exponencial del factor de curvatura sea máximo." "identificador" => "fn0020" ] 4 => array:3 [ "etiqueta" => "5" "nota" => "Las excepciones corresponden al número de días (periodo de tiempo) en los cuales las pérdidas reales del portafolio exceden el VaR estimado." "identificador" => "fn0025" ] 5 => array:3 [ "etiqueta" => "6" "nota" => "El nivel de confianza del backtesting no está relacionado con el nivel de confianza usado para la estimación del VaR." "identificador" => "fn0030" ] ] "multimedia" => array:24 [ 0 => array:7 [ "identificador" => "fig0005" "etiqueta" => "Figura 1" "tipo" => "MULTIMEDIAFIGURA" "mostrarFloat" => true "mostrarDisplay" => false "figura" => array:1 [ 0 => array:4 [ "imagen" => "gr1.jpeg" "Alto" => 1170 "Ancho" => 2341 "Tamanyo" => 161458 ] ] "descripcion" => array:1 [ "es" => "Metodología para calcular el VaR del portafolio. Fuente: elaboración propia." ] ] 1 => array:7 [ "identificador" => "fig0010" "etiqueta" => "Figura 2" "tipo" => "MULTIMEDIAFIGURA" "mostrarFloat" => true "mostrarDisplay" => false "figura" => array:1 [ 0 => array:4 [ "imagen" => "gr2.jpeg" "Alto" => 1308 "Ancho" => 2773 "Tamanyo" => 646623 ] ] "descripcion" => array:1 [ "es" => "Tasa de interés para los vencimientos correspondientes a 0,25, 0,5, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 y 10años para el periodo de tiempo comprendido entre 2003 y 2013. Fuente: elaboración propia." ] ] 2 => array:7 [ "identificador" => "fig0015" "etiqueta" => "Figura 3" "tipo" => "MULTIMEDIAFIGURA" "mostrarFloat" => true "mostrarDisplay" => false "figura" => array:1 [ 0 => array:4 [ "imagen" => "gr3.jpeg" "Alto" => 1772 "Ancho" => 2521 "Tamanyo" => 345083 ] ] "descripcion" => array:1 [ "es" => "VaR del portafolio (de enero de 2014 a julio de 2016). Fuente: elaboración propia." ] ] 3 => array:8 [ "identificador" => "tbl0005" "etiqueta" => "Tabla 1" "tipo" => "MULTIMEDIATABLA" "mostrarFloat" => true "mostrarDisplay" => false "detalles" => array:1 [ 0 => array:3 [ "identificador" => "at1" "detalle" => "Tabla " "rol" => "short" ] ] "tabla" => array:2 [ "leyenda" => "Fuente: elaboración propia con base en los parámetros de NS estimados por Infovalmer." "tablatextoimagen" => array:1 [ 0 => array:2 [ "tabla" => array:1 [ 0 => """ <table border="0" frame="\n \t\t\t\t\tvoid\n \t\t\t\t" class=""><thead title="thead"><tr title="table-row"><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Plazo (años) \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">0,25 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">0,5 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">1 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">2 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">4 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">5 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">7 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">8 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">9 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">10 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th></tr></thead><tbody title="tbody"><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Media \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,70 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,00 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,55 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">7,39 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">8,42 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">8,73 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">9,14 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">9,27 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">9,37 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">9,45 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Desviación estándar \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,09 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,14 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,26 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,46 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,66 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,71 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,74 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,75 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,75 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,76 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Mínimo \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">1,44 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,02 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,91 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3,67 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,08 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,27 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,54 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,65 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,75 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,84 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">1.er cuartil \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,06 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,17 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,54 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,14 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,16 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,48 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,90 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">7,05 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">7,17 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">7,27 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Mediana \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,20 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,32 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,67 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,36 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">7,66 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">8,10 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">8,61 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">8,72 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">8,78 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">8,84 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">3.er cuartil \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">7,38 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">7,97 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">8,86 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">9,52 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">10,43 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">10,77 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">11,06 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">11,09 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">11,13 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">11,11 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Máximo \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">11,44 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">11,66 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">12,88 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">14,40 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">16,13 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">16,35 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">16,68 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">16,84 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">17,01 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">17,18 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Observaciones \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3.186 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr></tbody></table> """ ] "imagenFichero" => array:1 [ 0 => "xTab1400623.png" ] ] ] ] "descripcion" => array:1 [ "es" => "Estadísticas descriptivas de las tasas de interés a diferentes plazos" ] ] 4 => array:8 [ "identificador" => "tbl0010" "etiqueta" => "Tabla 2" "tipo" => "MULTIMEDIATABLA" "mostrarFloat" => true "mostrarDisplay" => false "detalles" => array:1 [ 0 => array:3 [ "identificador" => "at2" "detalle" => "Tabla " "rol" => "short" ] ] "tabla" => array:2 [ "leyenda" => "Fuente: elaboración propia." "tablatextoimagen" => array:1 [ 0 => array:2 [ "tabla" => array:1 [ 0 => """ <table border="0" frame="\n \t\t\t\t\tvoid\n \t\t\t\t" class=""><thead title="thead"><tr title="table-row"><th class="td" title="table-head " rowspan="2" align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Vencimiento (años)</th><th class="td" title="table-head " colspan="3" align="center" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">MSE</th><th class="td" title="table-head " colspan="3" align="center" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">RMSE</th></tr><tr title="table-row"><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">DL \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">DRA \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">ATSM \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">DL \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">DRA \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">ATSM \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th></tr></thead><tbody title="tbody"><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">0,25 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,006 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,010 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,080 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,120 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">0,5 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,001 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,007 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,020 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,260 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">1 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,007 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,010 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,140 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,080 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,110 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,370 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">2 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,003 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,020 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,050 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,060 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,130 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,230 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">4 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,002 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,004 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,001 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,050 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,030 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">5 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,004 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,003 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,002 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,060 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,050 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">7 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,002 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,002 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,003 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,040 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,010 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,070 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">8 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,002 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,002 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,010 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,050 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">9 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,001 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,001 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,001 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,020 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,050 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,030 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">10 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,003 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,003 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,003 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,060 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">0,050 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">− \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr></tbody></table> """ ] "imagenFichero" => array:1 [ 0 => "xTab1400621.png" ] ] ] ] "descripcion" => array:1 [ "es" => "MSE y RMSE para el periodo de la muestra estimado (2002-2013)" ] ] 5 => array:8 [ "identificador" => "tbl0015" "etiqueta" => "Tabla 3" "tipo" => "MULTIMEDIATABLA" "mostrarFloat" => true "mostrarDisplay" => false "detalles" => array:1 [ 0 => array:3 [ "identificador" => "at3" "detalle" => "Tabla " "rol" => "short" ] ] "tabla" => array:2 [ "leyenda" => "Fuente: elaboración propia." "tablatextoimagen" => array:1 [ 0 => array:2 [ "tabla" => array:1 [ 0 => """ <table border="0" frame="\n \t\t\t\t\tvoid\n \t\t\t\t" class=""><thead title="thead"><tr title="table-row"><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Modelo \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Nivel de confianza \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Valor crítico χ2 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">LRPOF \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">A/R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">LRTUFF \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">A/R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">LRind \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">A/R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Valor crítico χ2 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">LRmix \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">A/R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</th></tr></thead><tbody title="tbody"><tr title="table-row"><td class="td" title="table-entry " rowspan="4" align="left" valign="top">DRA</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">99,0% \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,63 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">0,87 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">A \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">1,65 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">A \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,88 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">A \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">9,21 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">1,68 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">A \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">97,5% \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,02 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">12,23 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">0,40 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">A \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,88 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">7,38 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3,09 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">A \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">95,0% \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">3,84 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">38,48 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">0,00 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">A \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,88 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,99 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">10,67 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">90,0% \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">2,71 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">99,11 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">0,67 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">A \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,88 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">4,61 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">30,95 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td" title="table-entry " colspan="12" align="left" valign="top"></td></tr><tr title="table-row"><td class="td" title="table-entry " rowspan="4" align="left" valign="top">ATSM</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">99,0% \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,63 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">195 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">6,5 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">17,3 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">59,89 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">186,4 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="left" valign="top">R \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">97,5% \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry " align="char" valign="top">5,02 \t\t\t\t\t\t\n \t\t\t\t</td><td 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Measuring the value at risk of fixed-income portfolios using interest rate multi-factor dynamic models

Medição do valor em risco de carteiras de renda fixa usando modelos multifatoriais dinâmicos de taxas de juro

Sara Isabel Álvarez-Francoa, Diego Alexander Restrepo-Tobónb,

Autor para correspondencia

drestr16@eafit.edu.co

Autor para correspondencia. Carrera 49 No. 7 Sur-50, Medellín, Colombia.

, Mateo Velásquez-Giraldoc

a Egresada Maestría en Finanzas, Escuela de Economía y Finanzas, Universidad EAFIT, Medellín, Colombia

b Profesor Asociado, Escuela de Economía y Finanzas, Universidad EAFIT, Medellín, Colombia

c Asistente de investigación, Escuela de Economía y Finanzas, Universidad EAFIT, Medellín, Colombia

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el VaR se ha convertido en una medida est&#225;ndar en la industria para medir la exposici&#243;n al riesgo de mercado y en una herramienta de supervisi&#243;n importante para la gran mayor&#237;a de instituciones financieras &#40;<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0035">Berkowitz y O&#8217;Brien&#44; 2002&#59; Santos&#44; Nogales&#44; Ruiz y van Dijk&#44; 2012&#59; Abad&#44; Benito y L&#243;pez&#44; 2014&#59; Caldeira&#44; Moura y Santos&#44; 2015</a>&#41;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0005"><span class="elsevierStyleSup">1</span></a>&#46;</p><p id="par0010" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Existen diferentes m&#233;todos para calcular el VaR de portafolios tanto de renta fija como de renta variable&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0010">Abad et al&#46; &#40;2014&#41;</a> presentan una revisi&#243;n exhaustiva de las diferentes metodolog&#237;as de c&#225;lculo del VaR para portafolios de renta variable&#46; Su trabajo resalta la existencia de una vasta literatura te&#243;rica y emp&#237;rica respecto al c&#225;lculo del VaR para esa clase de activos&#46; En contraste&#44; la literatura respecto al c&#225;lculo del VaR para portafolios de renta fija es exigua&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a> califican este hecho como un importante vac&#237;o en la literatura financiera&#44; dada la importancia de dichos activos en la conformaci&#243;n de portafolios bien diversificados y a que las particularidades de estos instrumentos exigen metodolog&#237;as diferentes para el c&#225;lculo del VaR&#46;</p><p id="par0015" class="elsevierStylePara elsevierViewall">La metodolog&#237;a propuesta en este art&#237;culo es similar a la usada por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a>&#46; Dicha metodolog&#237;a se fundamenta en la utilizaci&#243;n de una clase general de modelos din&#225;micos multifactoriales de tasas de inter&#233;s para el c&#225;lculo del VaR&#46; Estos modelos han mostrado un desempe&#241;o superior para pronosticar la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s &#40;EPTI&#41; &#40;ver&#44; por ejemplo&#44; <a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0100">Diebold y Li&#44; 2006&#59; Diebold&#44; Rudebusch y Aruoba&#44; 2006&#59; De Pooter&#44; 2007&#59; Beltratti y Colla&#44; 2007&#59; Diebold y Rudebusch&#44; 2011&#59; Rezende y Ferreira&#44; 2011&#59; Diebold y Rudebusch&#44; 2013</a>&#41;&#59; por tanto&#44; es de esperarse que sean &#250;tiles en el c&#225;lculo del VaR&#46; No obstante&#44; como se resalta en la literatura &#40;<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0165">Kim y Orphanides&#44; 2012&#59; A&#239;t-Sahalia y Kimmel&#44; 2010&#59; Christensen&#44; Diebold y Rudebusch&#44; 2009</a>&#41;&#44; estos modelos pueden ser dif&#237;ciles de estimar&#46; As&#237;&#44; la presente metodolog&#237;a no simplifica el c&#225;lculo del VaR respecto a las metodolog&#237;as tradicionales pero busca hacerlo consistente con la teor&#237;a subyacente a los modelos din&#225;micos de la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s m&#225;s utilizados en la literatura&#46;</p><p id="par0020" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Una importante ventaja de calcular el VaR con base en modelos din&#225;micos de la EPTI es que dicho m&#233;todo permite que los precios de los activos subyacentes al c&#225;lculo del VaR y la distribuci&#243;n emp&#237;rica de los rendimientos del portafolio sean consistentes con la teor&#237;a que soporta estos modelos&#46; En principio&#44; utilizar modelos de la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s para estimar el VaR ofrece la oportunidad de hacer consistente la valoraci&#243;n de los instrumentos con la gesti&#243;n del riesgo de los mismos&#44; pues ambos se derivan de una misma estructura te&#243;rica&#46; Por ejemplo&#44; si se utilizan modelos de no arbitraje como base para calcular el VaR&#44; la distribuci&#243;n emp&#237;rica subyacente al c&#225;lculo del VaR de los precios de los t&#237;tulos que conforman el portafolio puede hacerse consistente con la condici&#243;n de no arbitraje &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0090">Date y Bustreo&#44; 2015</a>&#41;&#46; Otro ejemplo ser&#237;a que si se utiliza un modelo din&#225;mico donde el precio de mercado por riesgo cambia en el tiempo&#44; los precios de los activos que conforman el portafolio ser&#237;an consistentes con esta propiedad&#44; propiedad que ser&#237;a reflejada en el VaR&#46; Adicionalmente&#44; modelos de la estructura a plazos que puedan incorporar el efecto que sobre la misma tienen otras variables macroecon&#243;micas&#44; en principio&#44; podr&#237;an ser utilizados para calcular un VaR que responda al efecto de dichas variables&#46;</p><p id="par0025" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Teniendo en cuenta la similitud del presente art&#237;culo con el trabajo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a>&#44; es importante resaltar las diferencias entre los mismos&#46; Primero&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a> utilizan la aproximaci&#243;n propuesta por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> respecto a los modelos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0210">Nelson y Siegel &#40;1987&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0245">Svensson &#40;1994&#41;</a>&#46; En este art&#237;culo&#44; adem&#225;s del modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a>&#44; se utiliza el modelo propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> y un modelo af&#237;n gaussiano de no arbitraje de tasas de inter&#233;s de tres factores&#46; Este &#250;ltimo modelo se adopta bas&#225;ndose en los hallazgos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0260">Vel&#225;squez-Giraldo y Restrepo-Tob&#243;n &#40;2016&#41;</a>&#44; quienes muestran que los modelos af&#237;nes de tasas de inter&#233;s tienen un buen desempe&#241;o en pronosticar la EPTI colombiana&#46; Por su parte&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0195">Maldonado&#44; Pantoja y Zapata &#40;2015&#41;</a> muestran que el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> se ajusta adecuadamente a la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s colombiana&#46; Finalmente&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0145">Gomez-Restrepo y Restrepo-Tob&#243;n &#40;2016&#41;</a> muestran que el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> con macrofactores tiene un desempe&#241;o superior al modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> en pronosticar la EPTI en Colombia&#46;</p><p id="par0030" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Segundo&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a> modelan separadamente el rendimiento del portafolio de renta fija y la covarianza entre los factores subyacentes al modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> para luego utilizar ambos componentes para calcular el VaR usando una metodolog&#237;a similar a la del m&#233;todo Delta-Normal &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0160">Jorion&#44; 2006</a>&#41;&#46; En contraste&#44; en este trabajo se estiman los modelos din&#225;micos multifactoriales de tasas de inter&#233;s y luego se utilizan los par&#225;metros estimados para simular&#44; v&#237;a simulaci&#243;n Monte Carlo&#44; la futura trayectoria de la EPTI y el valor del portafolio de renta fija para el horizonte de tiempo requerido en la estimaci&#243;n del VaR&#46; De esta forma&#44; se obtiene la distribuci&#243;n del valor del portafolio para el horizonte definido y el VaR se calcula como el cambio en el valor del portafolio correspondiente al percentil apropiado de dicha distribuci&#243;n &#40;1 o 5&#37;&#41;&#46;</p><p id="par0035" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En este trabajo se utilizan datos para Colombia entre 2003 y 2016&#46; Para estimar diariamente los modelos se utilizan las tasas cero cup&#243;n&#44; estimadas por la metodolog&#237;a de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0210">Nelson y Siegel &#40;1987&#41;</a>&#44; entre los a&#241;os 2003 y 2013<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0010"><span class="elsevierStyleSup">2</span></a>&#46; Para simplificar la estimaci&#243;n del VaR&#44; se considera un portafolio compuesto por un solo t&#237;tulo de renta fija correspondiente a un TES del Gobierno Nacional con vencimiento en julio de 2024&#46; Dicha simplificaci&#243;n no implica p&#233;rdida de generalidad&#44; dado que la estimaci&#243;n del VaR propuesta del portafolio no depende de forma fundamental del n&#250;mero o de las caracter&#237;sticas de los t&#237;tulos que lo componen&#46; Sin embargo&#44; considerar un &#250;nico t&#237;tulo reduce significativamente el tiempo de c&#243;mputo del VaR&#46;</p><p id="par0040" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Los modelos considerados asumen que la din&#225;mica de la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s est&#225; determinada por tres factores latentes usualmente asociados al nivel&#44; la pendiente y la curvatura de dicha estructura&#46; Estos tres factores latentes capturan parsimoniosamente la din&#225;mica de la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s y son ampliamente aceptados en la literatura &#40;<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0175">Litterman y Scheinkman&#44; 1991&#59; Duffee&#44; 2002&#59; Brandt y Chapman&#44; 2003&#59; P&#233;rignon y Smith&#44; 2007</a>&#41;&#46; La metodolog&#237;a de estimaci&#243;n del VaR para cada modelo tiene tres etapas&#46; Primero&#44; se estima el modelo de forma secuencial para cada d&#237;a entre el 2 de enero de 2014 y el 14 de julio de 2016 utilizando los datos disponibles desde el 2 de enero de 2003 hasta el d&#237;a de valoraci&#243;n&#46; Segundo&#44; para cada uno de esos d&#237;as se simulan 10&#46;000 trayectorias de los tres factores latentes de la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s y el nivel de la curva de rendimientos para el d&#237;a siguiente y se valora el portafolio utilizando cada una de las 10&#46;000 trayectorias para cada d&#237;a desde el 3 de enero de 2014 hasta el 15 de julio de 2016&#46; Tercero&#44; se calcula el VaR del portafolio utilizando el valor del portafolio correspondiente al percentil seleccionado para el c&#225;lculo del VaR &#40;1 o 5&#37;&#41;&#46; Finalmente&#44; para evaluar el desempe&#241;o relativo de los tres modelos respecto al c&#225;lculo del VaR&#44; se utiliza la metodolog&#237;a de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> utilizando las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional del VaR y funciones de p&#233;rdida&#46;</p><p id="par0045" class="elsevierStylePara elsevierViewall">A pesar del desempe&#241;o superior de los modelos din&#225;micos de tasas de inter&#233;s para pronosticar la curva de rendimientos &#40;<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0100">Diebold y Li&#44; 2006&#59; Diebold et al&#46;&#44; 2006&#59; De Pooter&#44; 2007&#59; Beltratti y Colla&#44; 2007&#59; Piazzesi&#44; 2010&#59; Diebold y Rudebusch&#44; 2011&#59; Duffee&#44; 2013&#59; G&#252;rkaynak y Wright&#44; 2012&#59; Diebold y Rudebusch&#44; 2013</a>&#41;&#44; los resultados emp&#237;ricos del presente trabajo indican que ninguno de los tres modelos considerados presenta un desempe&#241;o superior uniforme en la estimaci&#243;n del VaR de acuerdo a las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional o a las funciones de p&#233;rdidas&#46; Adicionalmente&#44; se encuentra que el modelo af&#237;n de no arbitraje presenta el mejor desempe&#241;o relativo respecto a la estimaci&#243;n del VaR basado en funciones de p&#233;rdida y un desempe&#241;o inferior al modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> respecto a las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional&#46; Estas pruebas indican que el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> cumple con todas las propiedades deseables para el c&#225;lculo del VaR&#46; Por su parte&#44; el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> sobreestima uniformemente el VaR para todos los d&#237;as considerados&#46;</p><p id="par0050" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Una posible raz&#243;n del pobre desempe&#241;o de los modelos din&#225;micos en la estimaci&#243;n del VaR&#44; consistente con la evidencia emp&#237;rica y soportando su utilidad en el pron&#243;stico de las tasas de inter&#233;s&#44; es que dichos modelos capturan adecuadamente solo el primer momento de la distribuci&#243;n de las tasas de inter&#233;s a diferentes plazos&#46; Los momentos de orden superior no son adecuadamente capturados&#44; y son estos los que determinan su utilidad en la estimaci&#243;n del VaR de un portafolio de renta fija&#46; La principal conclusi&#243;n del estudio es que&#44; entre los modelos considerados&#44; el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> se desempe&#241;a adecuadamente respecto a las pruebas del <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> del VaR y debe ser preferido en aplicaciones emp&#237;ricas&#46; No obstante&#44; antes de utilizar estos modelos en la estimaci&#243;n del riesgo de portafolios de renta fija&#44; se debe modelar conjuntamente tanto el nivel de las tasas de inter&#233;s como la evoluci&#243;n de su matriz de varianzas y covarianzas&#46; De esta forma&#44; los trabajos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0215">P&#233;rignon y Smith &#40;2007&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0250">Trolle y Schwartz &#40;2009&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0080">Creal y Wu &#40;2015&#41;</a> pueden ser un buen punto de partida&#46;</p><p id="par0055" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Lo que resta del presente art&#237;culo se organiza de la siguiente forma&#46; La secci&#243;n 2 expone los antecedentes te&#243;ricos de los modelos y metodolog&#237;as usadas&#46; La secci&#243;n 3 expone los modelos usados y discute su proceso de estimaci&#243;n&#44; as&#237; como el c&#225;lculo del VaR y su <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span>&#46; La secci&#243;n 4 presenta y analiza los resultados emp&#237;ricos de la investigaci&#243;n&#46; Finalmente&#44; en la secci&#243;n 5 se presentan las conclusiones de la investigaci&#243;n&#46;</p></span><span id="sec0010" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">2</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0055">Marco te&#243;rico</span><p id="par0060" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En esta secci&#243;n se presenta la literatura relacionada tanto con la estimaci&#243;n de la EPTI como de la utilizaci&#243;n de la misma en la estimaci&#243;n del VaR de portafolios de renta fija&#46;</p><span id="sec0015" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">2&#46;1</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0060">Modelos din&#225;micos de la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s</span><p id="par0065" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Los modelos din&#225;micos para estimar la EPTI son ampliamente estudiados en la literatura&#46; Algunos ejemplos de revisiones recientes al respecto incluyen <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0220">Piazzesi &#40;2010&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0125">Duffee &#40;2013&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0150">G&#252;rkaynak y Wright &#40;2012&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0115">Diebold y Rudebusch &#40;2013&#41;</a>&#46; Dentro del estudio de este tipo de modelos&#44; podr&#237;a argumentarse que la contribuci&#243;n m&#225;s importante en la estimaci&#243;n de la EPTI fue hecha por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0210">Nelson y Siegel &#40;1987&#41;</a>&#46; El modelo de Nelson y Siegel &#40;NS&#44; en adelante&#41; contempla tres factores que pueden ser asociados &#40;en el l&#237;mite&#41; directamente al nivel&#44; la pendiente y la curvatura de la EPTI&#46; Dada su simplicidad&#44; flexibilidad y f&#225;cil interpretaci&#243;n&#44; el modelo de NS es el m&#225;s usado por los analistas financieros y los bancos centrales para la estimaci&#243;n de la EPTI&#46;</p><p id="par0070" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El modelo de NS es un modelo est&#225;tico y sirve para ajustar la EPTI solo para un instante de tiempo dado&#46; Partiendo del modelo de NS&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> proponen versiones din&#225;micas para estimar la EPTI&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> tienen en cuenta que los par&#225;metros del modelo de NS deben cambiar periodo a periodo y proponen estimarlos usando un vector autorregresivo &#40;VAR&#41; usando datos longitudinales para un periodo de tiempo espec&#237;fico&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> parten del enfoque propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> y proponen una representaci&#243;n de estado-espacio del modelo para la estimaci&#243;n de los factores latentes de la curva de rendimiento&#46; Usando la metodolog&#237;a de filtro de Kalman&#44; los autores calculan la predicci&#243;n &#243;ptima de rendimiento y el correspondiente error de estimaci&#243;n&#46; Una importante cr&#237;tica de los modelos din&#225;micos basados en la especificaci&#243;n de NS es que dichos modelos no cumplen con la condici&#243;n de no arbitraje&#46; Recientemente&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0055">Christensen et al&#46; &#40;2009&#41;</a> generalizaron el modelo de NS imponiendo la condici&#243;n de no arbitraje y demuestran sus propiedades&#46;</p><p id="par0075" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Otra clase de modelos din&#225;micos de las tasas de inter&#233;s establece una relaci&#243;n te&#243;rica entre las tasas de corto y largo plazo asumiendo que la tasa de corto plazo sigue un proceso estoc&#225;stico&#46; Los principales estudios de esta clase de modelos son los desarrollados por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0255">Vasicek &#40;1977&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0075">Cox&#44; Ingersoll Jr y Ross &#40;1985&#41;</a>&#44; los cuales son generalizados en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0130">Duffie y Kan &#40;1996&#41;</a>&#44; quienes muestran que la mayor&#237;a de dichos modelos pueden ser categorizados como modelos af&#237;n &#40;lineales&#41; de tasas de inter&#233;s &#40;modelos ATSM&#44; por sus siglas en ingl&#233;s <span class="elsevierStyleItalic">Affine Term Structure Models</span>&#41;&#44; en los cuales las tasas de inter&#233;s para cada vencimiento pueden ser representadas como una funci&#243;n lineal de factores no observables &#40;variables latentes&#41;&#46; Desde su trabajo&#44; los ATSM han recibido una gran atenci&#243;n en la literatura&#46;</p><p id="par0080" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Una de las grandes ventajas de los ATSM es que la estructura a plazos construida a partir de los mismos es consistente con la condici&#243;n de no arbitraje&#46; Sin embargo&#44; como muestra <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0120">Duffee &#40;2002&#41;</a>&#44; dichos modelos no se desempe&#241;an adecuadamente en la mayor&#237;a de las aplicaciones emp&#237;ricas&#44; especialmente respecto al pron&#243;stico por fuera de muestra de la EPTI&#46; Adem&#225;s&#44; la estimaci&#243;n de estos modelos es dif&#237;cil y sujeta a problemas de identificaci&#243;n de sus principales par&#225;metros &#40;ver&#44; por ejemplo&#44; <a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0165">Kim y Orphanides&#44; 2012&#59; A&#239;t-Sahalia y Kimmel&#44; 2010&#59; Christensen et al&#46;&#44; 2009</a>&#41;&#46; Sin embargo&#44; aunque la estimaci&#243;n de dichos modelos es todav&#237;a num&#233;ricamente dif&#237;cil&#44; desarrollos recientes han demostrado que su capacidad predictiva fuera de muestra ha mejorado sustancialmente &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0020">A&#239;t-Sahalia y Kimmel&#44; 2010</a>&#41;&#46;</p><p id="par0085" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Para el caso colombiano se han presentado diferentes metodolog&#237;as para la estimaci&#243;n de la EPTI&#46; En uno de los primeros estudios en el &#225;mbito nacional&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0025">Arango&#44; Melo y V&#225;squez &#40;2001&#41;</a> emplean el modelo de NS con el fin de obtener un primer acercamiento de la estructura de la curva en Colombia&#46; Posteriormente&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0050">Castro y Melo &#40;2010&#41;</a> analizan la relaci&#243;n existente entre las variables macroecon&#243;micas y la curva de rendimientos&#46; En este estudio&#44; los autores utilizan como modelo referente el presentado por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a>&#44; estimando los par&#225;metros a trav&#233;s de la aplicaci&#243;n de VaR&#46; En otro estudio&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0195">Maldonado et al&#46; &#40;2015&#41;</a> estiman la curva de rendimientos aplicando una reparametrizaci&#243;n al modelo de NS con los factores de nivel&#44; pendiente y curvatura&#59; en este trabajo los autores ajustan la tasa de inter&#233;s mediante filtros de Kalman&#46; Un trabajo m&#225;s reciente es el presentado por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0260">Vel&#225;squez-Giraldo y Restrepo-Tob&#243;n &#40;2016&#41;</a>&#44; quienes&#44; bas&#225;ndose en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0015">A&#239;t-Sahalia &#40;2008&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0020">A&#239;t-Sahalia y Kimmel &#40;2010&#41;</a>&#44; estiman la EPTI para el mercado colombiano usando ATSM&#44; a partir de lo cual encontraron que los modelos ATSM se desempe&#241;an de forma superior respecto a los otros modelos existentes en el pron&#243;stico de la EPTI&#46;</p></span><span id="sec0020" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">2&#46;2</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0065">Calculo del VaR de portafolios de renta fija</span><p id="par0090" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En la presente subsecci&#243;n se discuten los antecedentes del c&#225;lculo del VaR para portafolios de renta fija&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a> argumentan que la literatura respecto al c&#225;lculo del VaR de portafolios de renta fija es exigua y califican este hecho como un importante vac&#237;o en la literatura financiera &#40;ver tambi&#233;n <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi&#44; 2007</a>&#41;&#46; Dada la importancia de los instrumentos de renta fija en la construcci&#243;n de portafolios bien diversificados&#44; es sorprendente que no haya surgido una literatura igualmente importante dedicada al c&#225;lculo del VaR de portafolios de renta variable&#46; Como se mencion&#243; anteriormente&#44; entre las pocas excepciones se encuentran <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira &#40;2005&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez &#40;2005&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar &#40;2000&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito &#40;2007&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi &#40;2007&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0240">Su y Knowles &#40;2010&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0090">Date y Bustreo &#40;2015&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a>&#46; En esta subsecci&#243;n se revisan cada uno de estos trabajos y se relacionan con la contribuci&#243;n del presente art&#237;culo&#46;</p><p id="par0095" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En contraste con los rendimientos de las acciones&#44; los rendimientos hist&#243;ricos de los bonos no pueden ser utilizados directamente para el c&#225;lculo del VaR de un portafolio de renta fija &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0235">Sousa&#44; Esquivel&#44; Gaspar y Real&#44; 2012</a>&#41;&#46; La raz&#243;n es que los plazos &#40;madureces&#41; de las tasas de inter&#233;s impl&#237;citas en los precios hist&#243;ricos de los bonos no corresponden con los plazos que se requieren para el c&#225;lculo del VaR&#46; Debido a lo anterior&#44; los m&#233;todos tradicionales para el c&#225;lculo del VaR de portafolios de renta fija difieren de los m&#233;todos utilizados para calcular el VaR de portafolios de renta variable&#46; De estos m&#233;todos&#44; los m&#225;s simples y tradicionales son&#58; 1&#41;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>duraci&#243;n&#59; 2&#41;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>mapeo de flujos de caja&#44; y 3&#41;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>an&#225;lisis de componentes principales&#46; Una buena presentaci&#243;n de estos modelos se encuentra en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0160">Jorion &#40;2006&#41;</a>&#46;</p><p id="par0100" class="elsevierStylePara elsevierViewall">A pesar de su simplicidad&#44; ninguno de estos m&#233;todos &#40;duraci&#243;n&#44; mapeo de flujos de caja&#44; componentes principales&#41; es completamente satisfactorio en la estimaci&#243;n del VaR de portafolios de renta fija &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0160">Jorion&#44; 2006</a>&#41;&#46; En primer lugar&#44; el m&#233;todo de la duraci&#243;n solo tiene en cuenta movimientos paralelos de la curva de rendimientos&#46; Por su parte&#44; el m&#233;todo de mapeo de flujos de caja utiliza solo parcialmente la informaci&#243;n contenida en la EPTI&#46; Finalmente&#44; el m&#233;todo de componentes principales hace un uso m&#225;s eficiente de la informaci&#243;n contenida en la EPTI pero no cuenta con un soporte te&#243;rico adecuado para ser utilizado individualmente en la estimaci&#243;n del VaR de portafolios de renta fija&#46; Adem&#225;s&#44; un componente esencial de estos m&#233;todos es la modelaci&#243;n de los rendimientos del portafolio&#44; de su varianza hist&#243;rica&#44; o de la matriz de varianzas y covarianzas en los m&#233;todos de mapeo de flujos de caja y de componentes principales&#46; Sin embargo&#44; la literatura existente respecto a la modelaci&#243;n de las tasas de inter&#233;s y de su volatilidad con prop&#243;sitos de medir el VaR de portafolios de renta fija es poca&#46;</p><p id="par0105" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Debido a las limitaciones discutidas&#44; se han buscado metodolog&#237;as alternativas&#46; Por ejemplo&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar &#40;2000&#41;</a> usa modelos univariables de series de tiempo para investigar las propiedades estad&#237;sticas del VaR de 25 portafolios de renta fija para el mercado alem&#225;n&#46; Vlaar compara tres m&#233;todos&#58; 1&#41;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>simulaci&#243;n hist&#243;rica &#40;SH&#41;&#59; 2&#41;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>varianza-covarianza &#40;<span class="elsevierStyleSmallCaps">VC</span>&#41;&#44; y 3&#41;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>simulaci&#243;n Monte Carlo &#40;SMC&#41;&#46; El m&#233;todo de SH consiste en calcular la distribuci&#243;n emp&#237;rica de los rendimientos del portafolio para un horizonte de tiempo determinado &#40;uno&#44; dos&#44; cinco a&#241;os&#41;&#46; Este m&#233;todo asume que la distribuci&#243;n de rendimientos hist&#243;rica del portafolio permanecer&#225; estable y es representativa de la evoluci&#243;n del mismo durante los pr&#243;ximos 10<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>d&#237;as&#46; En su estudio&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar &#40;2000&#41;</a> usa 250&#44; 550&#44; 750&#44; 1&#46;250 y 2&#46;550 periodos de 10<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>d&#237;as de rendimientos y calcula sus correspondientes distribuciones emp&#237;ricas&#46; Con ello&#44; el VaR del portafolio es calculado como el percentil 1&#37; de la correspondiente distribuci&#243;n emp&#237;rica&#46; Sus resultados indican que este m&#233;todo subestima el VaR cuando en la simulaci&#243;n hist&#243;rica se utilizan menos de 750 periodos de 10<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>d&#237;as de rendimientos y lo sobreestima cuando se toma 1&#46;250 o m&#225;s&#46; La raz&#243;n es que los datos corresponden a periodos de tiempo donde la volatilidad de las tasas de inter&#233;s se redujo significativamente&#46; De esta forma&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar &#40;2000&#41;</a> concluye que el m&#233;todo de la SH no ofrece una medida precisa del VaR&#59; la principal raz&#243;n es que el m&#233;todo de SH es sensible a cambios en la din&#225;mica de las tasas de inter&#233;s que disten del comportamiento t&#237;pico hist&#243;rico&#46;</p><p id="par0110" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El segundo m&#233;todo usado en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar &#40;2000&#41;</a> es el de SMC&#46; Este m&#233;todo requiere hacer un supuesto sobre la distribuci&#243;n conjunta de los rendimientos de las fuentes de riesgo&#59; en este caso&#44; las tasas de inter&#233;s&#46; As&#237;&#44; el m&#233;todo requiere un supuesto sobre la media del cambio de las tasas de inter&#233;s a diferentes plazos&#44; calcular la matriz de varianzas y covarianzas de los cambios entre las tasas de inter&#233;s a diferentes plazos y asumir una distribuci&#243;n particular&#46; Los par&#225;metros necesarios para dicho c&#225;lculo se realizan con informaci&#243;n de cinco a&#241;os anteriores a la fecha para la cual se calcula el VaR&#46; Una caracter&#237;stica importante del m&#233;todo es que el cambio esperado en el valor del portafolio se asume igual a cero&#46; Adem&#225;s&#44; se asume que las varianzas de las tasas de inter&#233;s siguen un proceso <span class="elsevierStyleItalic">Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity</span> &#40;GARCH&#41; y que la distribuci&#243;n normal o la t de Student capturan la relaci&#243;n estad&#237;stica entre las tasas de inter&#233;s&#46; Una vez se obtienen los par&#225;metros &#40;media&#44; varianzas y covarianzas&#41; de la distribuci&#243;n&#44; se procede a simular 10&#46;000 realizaciones de los cambios en las tasas de inter&#233;s para cada d&#237;a en el que se calcula el VaR y se valoran los portafolios&#46;</p><p id="par0115" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Los resultados presentados por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar &#40;2000&#41;</a> indican que el m&#233;todo de SMC subestima el VaR en la mayor&#237;a de los casos&#46; Adem&#225;s&#44; los VaR calculados difieren significativamente a lo largo del tiempo&#44; lo cual indica que peque&#241;os cambios en los par&#225;metros estimados llevan a grandes cambios en las simulaciones&#46; Tambi&#233;n encuentra que los VaR calculados con base en la distribuci&#243;n t de Student fueron inferiores a los calculados con la distribuci&#243;n normal&#46; Dado que la primera tiene colas m&#225;s pesadas que la distribuci&#243;n normal&#44; este resultado es sorpresivo&#46; Sin embargo&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar &#40;2000&#41;</a> argumenta que la estimaci&#243;n por m&#225;xima verosimilitud de la matriz de varianzas y covarianzas para la distribuci&#243;n t de Student da menos ponderaci&#243;n a la ocurrencia de valores extremos&#46; Respecto al m&#233;todo de VC&#44; el promedio de los VaR estimados son de magnitud casi id&#233;ntica a los calculados con el m&#233;todo de SMC&#46; No obstante&#44; el m&#233;todo VC tiene un buen desempe&#241;o respecto al n&#250;mero de violaciones del VaR&#44; es decir&#44; al n&#250;mero de veces en que la p&#233;rdida del portafolio excede al VaR&#46; Por esta raz&#243;n&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0265">Vlaar &#40;2000&#41;</a> recomienda el m&#233;todo de VC sobre los dem&#225;s&#46;</p><p id="par0120" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Otras dos contribuciones importantes respecto a la evaluaci&#243;n emp&#237;rica del c&#225;lculo del VaR para portafolios de renta fija son los trabajos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira &#40;2005&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez &#40;2005&#41;</a>&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira &#40;2005&#41;</a> modela la din&#225;mica de la varianza y la covarianza de las tasas de inter&#233;s de corto plazo de Alemania y Francia para el periodo que precede la entrada en vigencia del euro&#44; a partir de lo cual encuentra que un modelo bivariado y asim&#233;trico de series de tiempo con efectos de nivel es el que mejor caracteriza la din&#225;mica de la matriz de varianzas y covarianzas entre las tasas de corto plazo en Francia y Alemania&#46; De esta forma&#44; el mejor desempe&#241;o para pronosticar dicha matriz lo ofrece un modelo de componentes de errores &#40;VECH&#44; por sus siglas en ingl&#233;s <span class="elsevierStyleItalic">Vector Error Correction with Heterocedasticity</span>&#41; con efectos de nivel pero sin efectos cruzados entre la volatilidad de la tasa de corto plazo francesa y alemana&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez &#40;2005&#41;</a> encuentran que los modelos de ponderaci&#243;n exponencial constante de medias m&#243;viles &#40;EWMA&#44; por sus siglas en ingl&#233;s <span class="elsevierStyleItalic">Exponentially Weighted Moving Average</span>&#41; tienen un desempe&#241;o similar pero son significativamente m&#225;s simples de estimar&#46;</p><p id="par0125" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Soportados en los hallazgos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira &#40;2005&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez &#40;2005&#41;</a> modelan el VaR de un portafolio de ponderaciones iguales de posiciones de corto plazo en el mercado de renta fija alem&#225;n&#44; franc&#233;s y japon&#233;s&#44; usando varios modelos de series de tiempo para capturar la din&#225;mica de la matriz de varianzas y covarianzas del portafolio&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0140">Ferreira y Lopez &#40;2005&#41;</a> encuentran que los modelos con mejor desempe&#241;o estad&#237;stico en el pron&#243;stico de la matriz de varianzas y covarianzas son aquellos que capturan la volatilidad de acuerdo al nivel de las tasas de inter&#233;s&#46; Sin embargo&#44; cuando el criterio es el desempe&#241;o en el c&#225;lculo del VaR&#44; los resultados son altamente sensibles a los supuestos sobre la distribuci&#243;n de las tasas de inter&#233;s&#46; Al igual que <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0135">Ferreira &#40;2005&#41;</a>&#44; encuentran que modelos simples&#44; como el EWMA&#44; se desempe&#241;an mejor en el c&#225;lculo del VaR&#46;</p><p id="par0130" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Estos trabajos&#44; sin embargo&#44; no se fundamentan en ninguna teor&#237;a que describa la EPTI para la modelaci&#243;n del VaR de portafolios de renta fija&#46; De acuerdo a la revisi&#243;n de la literatura&#44; el primer trabajo en considerar la utilizaci&#243;n de modelos de la EPTI en el c&#225;lculo del VaR de portafolios de renta fija es <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito &#40;2007&#41;</a>&#46; Estos autores proponen estimar el VaR de un portafolio de renta fija utilizando SMC&#46; La idea principal en su contribuci&#243;n es utilizar el modelo de NS para valorar los bonos considerados dentro del portafolio&#46; As&#237;&#44; el valor de cualquier bono dentro del portafolio se puede expresar en funci&#243;n de los cuatro par&#225;metros del modelo de NS y&#44; por tanto&#44; el valor total del portafolio depende exclusivamente de las caracter&#237;sticas de los bonos dentro del portafolio y de los cuatro par&#225;metros del modelo de NS&#46; Luego&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito &#40;2007&#41;</a> especifican un modelo que describe la evoluci&#243;n de dichos par&#225;metros&#46; Una vez especificado dicho modelo&#44; utilizan SMC para simular la distribuci&#243;n de rendimientos del portafolio ante choques a la evoluci&#243;n de los par&#225;metros del modelo de NS&#46; De esta forma&#44; el c&#225;lculo del VaR del portafolio corresponde al percentil x&#37; seleccionado para su c&#225;lculo&#46; Adicionalmente&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito &#40;2007&#41;</a> seleccionan modelos ARIMA unifactoriales para modelar la din&#225;mica de los par&#225;metros del modelo de NS&#46; Sin embargo&#44; los autores concluyen que los movimientos generados en las tasas de inter&#233;s al utilizar estos modelos en la SMC son&#44; en su mayor&#237;a&#44; implausibles&#46; Por ello&#44; los valores del VaR calculados siguiendo su procedimiento fueron considerados demasiado altos como para ser &#250;tiles en la gesti&#243;n del riesgo de portafolios de renta fija&#46;</p><p id="par0135" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El siguiente trabajo existente en la literatura corresponde a <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi &#40;2007&#41;</a>&#46; Estos autores tambi&#233;n utilizan el modelo de NS para extraer los tres factores din&#225;micos impl&#237;citos en la EPTI&#44; tal como lo exponen <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a>&#46; Luego de extraer los factores&#44; los autores utilizan una funci&#243;n de c&#243;pulas para modelar la din&#225;mica conjunta de estos&#46; En contraste con <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Abad y Benito &#40;2007&#41;</a>&#44; quienes consideran que los factores evolucionan independientemente&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi &#40;2007&#41;</a> modelan la din&#225;mica conjunta de estos factores utilizando la funci&#243;n de c&#243;pulas t de Student&#46; Utilizando SMC&#44; los autores generan 100&#46;000 simulaciones de los par&#225;metros del modelo de NS utilizando la funci&#243;n de c&#243;pulas estimada&#46; Seguidamente se generan 100&#46;000 posibles trayectorias para la EPTI y se valora el portafolio de renta fija&#44; obteniendo la distribuci&#243;n emp&#237;rica simulada del valor del portafolio&#46; Con esta informaci&#243;n&#44; el VaR al x&#37; se calcula como el percentil x&#37; de dicha distribuci&#243;n&#46;</p><p id="par0140" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El estudio de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0200">Martellini y Meyfredi &#40;2007&#41;</a> presenta evidencia emp&#237;rica para un portafolio de bonos del mercado franc&#233;s entre el 6 de febrero de 2004 y el 12 de octubre de 2005 para un total de 434 d&#237;as de negociaci&#243;n&#46; Primero estiman la curva de rendimientos usando la metodolog&#237;a descrita en el p&#225;rrafo anterior&#44; con la que encuentran que el R<span class="elsevierStyleSup">2</span> de los ajustes de las curvas diarias siempre es superior al 99&#37; y los par&#225;metros son estimados con una alta precisi&#243;n&#46; Utilizando las pruebas de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec &#40;1995&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0065">Christoffersen &#40;1998&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0070">Christoffersen y Pelletier &#40;2004&#41;</a>&#44; los autores reportan que el VaR al 95 y al 99&#37; de confianza obtenidos con la metodolog&#237;a propuesta satisface todas estas pruebas&#46; Adicionalmente&#44; concluyen que dicha metodolog&#237;a es adecuada para el c&#225;lculo del VaR de portafolios de renta fija&#46;</p><p id="par0145" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Otra variante del modelo de NS para estimar el VaR es presentada en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0240">Su y Knowles &#40;2010&#41;</a>&#46; Estos autores proponen tomar una aproximaci&#243;n lineal de primer orden a la ecuaci&#243;n del modelo de NS para hacer que las tasas de inter&#233;s a diferentes plazos sean una funci&#243;n lineal de tres factores&#58; nivel&#44; pendiente y curvatura de la EPTI&#46; Luego modelan el cambio en el valor del portafolio como una funci&#243;n de la duraci&#243;n&#44; el valor del portafolio y el cambio esperado en las tasas de inter&#233;s&#44; el cual es una funci&#243;n lineal de los cambios en los factores de nivel&#44; pendiente y curvatura&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0240">Su y Knowles &#40;2010&#41;</a> muestran que el VaR del portafolio puede calcularse con la aproximaci&#243;n delta-normal&#44; donde la varianza del portafolio es una funci&#243;n de la matriz de varianzas y covarianzas de los tres factores&#46; Sin embargo&#44; los autores no presentan pruebas de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> para evaluar el desempe&#241;o del VaR&#46;</p><p id="par0150" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Por otra parte&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0090">Date y Bustreo &#40;2015&#41;</a> proponen una metodolog&#237;a para calcular el VaR de portafolios de renta fija usando un modelo de la tasa de inter&#233;s de corto plazo de dos factores&#46; El modelo es calibrado a partir del precio de los bonos transados en el mercado y luego los cambios en los precios de los bonos del portafolio son simulados usando el <span class="elsevierStyleItalic">filtro de Kalman&#46;</span> Una de las principales ventajas de esta aproximaci&#243;n es que los precios de los bonos simulados mantienen la propiedad de ser consistentes con la condici&#243;n de no arbitraje&#46; Esta es una importante propiedad que no comparte ninguno de los m&#233;todos utilizados previamente en la literatura&#46; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0090">Date y Bustreo &#40;2015&#41;</a> encuentran que el m&#233;todo propuesto presenta un buen desempe&#241;o respecto a las pruebas de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> de cubrimiento incondicional y condicional&#46;</p><p id="par0155" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El trabajo m&#225;s reciente&#44; y m&#225;s af&#237;n al presente art&#237;culo&#44; es el de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a>&#46; Estos autores utilizan especificaciones din&#225;micas del modelo de NS y de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0245">Svensson &#40;1994&#41;</a> para estimar el VaR de portafolios de renta fija&#46; La metodolog&#237;a propuesta puede acomodar una gran cantidad de modelos din&#225;micos de tasas de inter&#233;s y heteroscedasticidad condicional de las tasas de inter&#233;s&#46; Adicionalmente&#44; la metodolog&#237;a permite obtener f&#243;rmulas cerradas para valorar los bonos pertenecientes a un portafolio de instrumentos de renta fija en funci&#243;n de los factores latentes de los modelos de NS y Svensson&#46; A partir de estas expresiones&#44; es posible calcular&#44; usando SMC&#44; la distribuci&#243;n de rendimientos del portafolio y&#44; consecuentemente&#44; su VaR&#46; La modelaci&#243;n de los factores latentes sigue la metodolog&#237;a propuesta en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a>&#46; Una vez obtenidos los factores latentes&#44; su volatilidad es calculada utilizando modelos autorregresivos de correlaci&#243;n din&#225;mica&#46; Para calcular el VaR del portafolio&#44; se simulan trayectorias de los factores latentes para estimar el cambio en el valor del portafolio y se utiliza la matriz de varianzas y covarianzas estimada de los factores para calcular el VaR utilizando el m&#233;todo delta-normal&#46; De acuerdo a los resultados del <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a> concluyen que dicho m&#233;todo se desempe&#241;a adecuadamente como para ser utilizado como modelo interno de c&#225;lculo del VaR&#46;</p><p id="par0160" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Para Colombia&#44; estudios relacionados con la gesti&#243;n del riesgo en portafolios de renta fija son los presentados por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0205">Melo y Granados &#40;2011&#41;</a>&#44; quienes bajo diferentes metodolog&#237;as analizan el desempe&#241;o de estimaciones del VaR y el VaR condicional para un conjunto de activos colombianos&#44; incluyendo el precio impl&#237;cito de t&#237;tulos de tesoro a 10<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>a&#241;os &#40;TES&#41;&#46; A su vez&#44; los autores incorporan dentro de su an&#225;lisis la verificaci&#243;n de los requerimientos exigidos por la regulaci&#243;n actual en el pa&#237;s de estudio&#44; con el fin de determinar si son suficientes para evaluar apropiadamente las estimaciones del VaR&#46; Los resultados encontrados para la estimaciones del VaR indican que para pron&#243;sticos con horizonte de un d&#237;a el desempe&#241;o de las medidas de riesgo es apropiado&#44; pero para el c&#225;lculo de un VaR multiperiodo ninguna metodolog&#237;a mide adecuadamente el VaR&#46;</p></span></span><span id="sec0025" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0070">Metodolog&#237;a</span><p id="par0165" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El presente trabajo considera modelos multifactoriales din&#225;micos para la estimaci&#243;n de la EPTI&#46; A diferencia de los modelos existentes en la literatura&#44; adem&#225;s de utilizar la versi&#243;n din&#225;mica del modelo de NS propuesta por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a>&#44; tambi&#233;n se emplea el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> y un modelo de no arbitraje gaussiano af&#237;n de tasas de inter&#233;s&#46; A continuaci&#243;n se exponen los tres modelos utilizados&#44; en donde se usan dos variaciones modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0210">Nelson y Siegel &#40;1987&#41;</a> y ATSM para la estimaci&#243;n de la curva de rendimientos para el mercado colombiano&#46;</p><span id="sec0030" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;1</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0075">Modelos din&#225;micos de la EPTI</span><p id="par0170" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Existe una gran variedad de modelos din&#225;micos de tasas de inter&#233;s que pueden clasificarse en tres grandes categor&#237;as&#46; La primera categor&#237;a incluye modelos te&#243;ricamente rigurosos pero con pobre desempe&#241;o emp&#237;rico&#46; La segunda incluye modelos emp&#237;ricamente exitosos pero con pobre soporte te&#243;rico&#46; Y la tercera incluye modelos que tienen alg&#250;n sustento te&#243;rico y que se desempe&#241;an adecuadamente en la pr&#225;ctica &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0115">Diebold y Rudebusch&#44; 2013</a>&#41;&#46; A esta &#250;ltima categor&#237;a pertenece el modelo din&#225;mico de Nelson y Siegel &#40;DNS&#41; derivado de los trabajos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> &#40;DL&#44; en adelante&#41; y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> &#40;DRA&#44; en adelante&#41; y el modelo de no arbitraje de Nelson y Siegel &#40;AFNS&#44; en adelante&#41; de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0060">Christensen&#44; Diebold y Rudebusch &#40;2011&#41;</a>&#46; En el presente trabajo se emplean las versiones DL y DRA&#46; Respecto a los modelos de no arbitraje&#44; se emplea un modelo gaussiano af&#237;n de no arbitraje con tres factores &#40;ATSM&#44; en adelante&#41;&#44; el cual ha sido empleado con &#233;xito en la pr&#225;ctica &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0020">A&#239;t-Sahalia y Kimmel&#44; 2010</a>&#41;&#46; A continuaci&#243;n se expone brevemente la especificaci&#243;n de cada uno de estos modelos&#46;</p><p id="par0175" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Inicialmente&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> proponen una versi&#243;n din&#225;mica del modelo est&#225;tico de NS para modelar la EPTI&#46; De esta forma&#44; su especificaci&#243;n viene dada por&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0005"></elsevierMultimedia></p><p id="par0180" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde yt&#964; es un vector de los rendimientos al vencimiento de los t&#237;tulos con vencimiento en <span class="elsevierStyleItalic">&#964;</span>&#46; <span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf">0<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span>&#44; <span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf">1<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span>&#44; <span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf">2<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span> son interpretados como factores din&#225;micos latentes de nivel&#44; pendiente y curvatura&#44; donde&#44; a diferencia del modelo original y est&#225;tico de NS&#44; estos factores var&#237;an en el tiempo&#46; Para hacer que el modelo de la ecuaci&#243;n<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>1 sea lineal en los par&#225;metros&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> proponen mantener el par&#225;metro <span class="elsevierStyleItalic">&#955;</span> constante&#59; este par&#225;metro est&#225; asociado a la curvatura de la EPTI&#46; En particular&#44; para el mercado de Estados Unidos&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> fijan dicho valor en <span class="elsevierStyleItalic">&#955;</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#61;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>0&#44; 0609&#46; Con datos correspondientes al vector yt&#964; y su correspondiente vector de vencimientos <span class="elsevierStyleItalic">&#964;</span>&#44; para cada periodo <span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#44; se estiman los par&#225;metros <span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf">0<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span>&#44; <span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf">1<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span>&#44; <span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf">2<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span> para cada periodo&#46; Por lo tanto&#44; para pronosticar la EPTI para un periodo <span class="elsevierStyleItalic">t</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">&#43;</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">h</span> se utiliza la siguiente especificaci&#243;n&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0010"></elsevierMultimedia></p><p id="par0185" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde &#946;i&#44;t&#43;h&#61;c&#710;i&#43;&#947;&#710;i&#946;&#710;i&#44;t para <span class="elsevierStyleItalic">i</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">&#61;</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">0&#44; 1&#44; 2</span>&#44; y donde los coeficientes c&#710;i&#44;&#8201;&#947;&#710;i son estimados utilizando modelos univariados autorregresivos de series de tiempo para cada &#946;&#710;i&#46;</p><p id="par0190" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Bajo el enfoque propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> proponen la siguiente variaci&#243;n al modelo DRA&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0015"></elsevierMultimedia></p><p id="par0200" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde yt&#964; son los rendimientos de los t&#237;tulos con vencimiento en &#964;&#44; y <span class="elsevierStyleItalic">L</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span></span>&#44; <span class="elsevierStyleItalic">S</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span></span>&#44; <span class="elsevierStyleItalic">C</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span></span> son los factores del modelo &#40;no observables&#41; con variaci&#243;n en el tiempo asociados a nivel&#44; pendiente y curvatura&#44; respectivamente&#46; El valor de &#955; es igualmente fijado en 0&#44;0609 para el caso de Estados Unidos&#46; El modelo de la ecuaci&#243;n<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>3 puede especificarse bajo la representaci&#243;n de un sistema de estado-espacio&#46; Partiendo del modelo DL se reformula el proceso que siguen los factores pasando de un AR &#40;1&#41; a un VAR &#40;1&#41;&#44; lo cual da lugar a la siguiente especificaci&#243;n&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0020"></elsevierMultimedia></p><p id="par0210" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde cada una de las observaciones de las series de datos para nivel&#44; pendiente y curvatura se deflacta con su respectiva media &#956;&#46; La ecuaci&#243;n de observaciones que relaciona los rendimientos con los factores no observables se escribe como&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0025"></elsevierMultimedia></p><p id="par0215" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde <span class="elsevierStyleItalic">t</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">&#61;</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">1&#44;&#8230;&#44;T&#46;</span> En notaci&#243;n matricial el modelo se reescribe como el siguiente sistema de estado-espacio con los factores ajustados por su media&#46;<elsevierMultimedia ident="eq0030"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0035"></elsevierMultimedia></p><p id="par0225" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde A es una matriz &#40;3&#215;3&#41; que contiene par&#225;metros no restringidos&#44; &#956; es un vector de estado &#40;3&#215;1&#41; que contiene par&#225;metros no restringidos y la matriz &#923; contiene el par&#225;metro &#955; y los <span class="elsevierStyleItalic">loadings</span> que acompa&#241;an a cada factor&#46; La estimaci&#243;n de los par&#225;metros se realiza a trav&#233;s del filtro de Kalman&#44; lo cual requiere que las perturbaciones de ruido blanco &#40;WN&#41; y de medici&#243;n sean ortogonales para iniciar el sistema&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0040"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0045"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0050"></elsevierMultimedia></p><p id="par0235" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde <span class="elsevierStyleItalic">Q</span> es la matriz de covarianzas de los factores y <span class="elsevierStyleItalic">H</span> es la matriz de covarianza de los rendimientos&#46; El modelo impone la condici&#243;n de que las perturbaciones del factor de la ecuaci&#243;n de estado <span class="elsevierStyleItalic">&#951;</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span></span> est&#225;n correlacionadas y que por lo tanto la correspondiente matriz de covarianza <span class="elsevierStyleItalic">Q</span> es no diagonal&#46; En el caso de la matriz <span class="elsevierStyleItalic">H</span>&#44; el modelo impone diagonalidad sobre ella&#44; implicando que las desviaciones de los rendimientos para diferentes vencimientos no est&#225;n correlacionadas&#46;</p><p id="par0240" class="elsevierStylePara elsevierViewall">De otro lado&#44; los ATSM asumen que la tasa de inter&#233;s de corto plazo es una funci&#243;n af&#237;n<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0015"><span class="elsevierStyleSup">3</span></a> de un vector de estado <span class="elsevierStyleItalic">X</span>&#40;<span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#41; de <span class="elsevierStyleItalic">N</span> factores subyacentes&#44; los cuales pueden ser observables &#40;variables macroecon&#243;micas&#41; o latentes &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0220">Piazzesi&#44; 2010</a>&#41;&#46;<elsevierMultimedia ident="eq0055"></elsevierMultimedia></p><p id="par0245" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde <span class="elsevierStyleItalic">y</span> corresponde los rendimientos de la curva cero cup&#243;n con vencimiento en &#964;&#44; <span class="elsevierStyleItalic">&#948;</span><span class="elsevierStyleInf">0</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#8712;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">R</span><span class="elsevierStyleSup"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span> y el vector <span class="elsevierStyleItalic">&#948;</span><span class="elsevierStyleInf">1</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#8712;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">R</span><span class="elsevierStyleSup"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>&#46; De esta forma&#44; se asume que el vector de estado sigue un proceso de difusi&#243;n af&#237;n bajo la medida de riesgo neutral <span class="elsevierStyleItalic">Q</span>&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0060"></elsevierMultimedia></p><p id="par0255" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde K&#732;&#44;&#8201;&#931;&#8712;RNxN&#952;&#732;&#8712;RN y W&#732; es un movimiento browniano independiente <span class="elsevierStyleItalic">N</span> dimensional y <span class="elsevierStyleItalic">S</span>&#40;<span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#41; es una matriz diagonal <span class="elsevierStyleItalic">NxN</span>&#44; donde &#91;S&#40;t&#41;&#93;i&#44;i&#61;&#945;i&#43;&#946;iTX&#40;t&#41;&#44; con <span class="elsevierStyleItalic">&#945;</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">i</span></span>&#44; <span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">i</span></span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#8712;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">R</span><span class="elsevierStyleSup"><span class="elsevierStyleItalic">N</span></span>&#46;</p><p id="par0260" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El precio del mercado de riesgo <span class="elsevierStyleItalic">&#923;</span>&#40;<span class="elsevierStyleItalic">X</span>&#41;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#8712;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">R</span><span class="elsevierStyleSup"><span class="elsevierStyleItalic">N</span></span> es tambi&#233;n especificado en orden de obtener la din&#225;mica f&#237;sica&#46; Siguiendo la literatura&#44; se asume que &#923;X&#61;S&#40;t&#41;&#955;&#44; donde &#955; es un vector de constantes &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0085">Dai y Singleton&#44; 2000</a>&#41;&#46; Por lo tanto&#44; el proceso de estado es tambi&#233;n af&#237;n bajo la medida <span class="elsevierStyleItalic">P</span> &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0130">Duffie y Kan&#44; 1996</a>&#41;&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0065"></elsevierMultimedia></p><p id="par0270" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Bajo esta estructura&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0130">Duffie y Kan &#40;1996&#41;</a> muestran que los rendimientos para cualquier vencimiento &#964; pueden ser obtenidos como una funci&#243;n af&#237;n del vector de estado&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0070"></elsevierMultimedia></p><p id="par0280" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde los coeficientes <span class="elsevierStyleItalic">A</span>&#40;<span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#41; y Bt son la soluci&#243;n del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0075"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0080"></elsevierMultimedia></p><p id="par0290" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Con a0&#61;0&#44; b0&#61;0&#8594;&#44; A&#964;&#61;&#8722;a&#40;&#964;&#41;&#47;&#964; y B&#964;&#61;&#8722;b&#40;&#964;&#41;&#47;&#964;&#46; Estas ecuaciones imponen las restricciones de no arbitraje &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0130">Duffie y Kan&#44; 1996</a>&#41;&#46;</p></span><span id="sec0035" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;2</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0080">C&#225;lculo del VaR de carteras de renta fija</span><p id="par0295" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En el presente art&#237;culo se propone una metodolog&#237;a para el c&#225;lculo del VaR en la cual se simulan escenarios para las tasas de inter&#233;s futuras de acuerdo con tres modelos de tasas de inter&#233;s ampliamente utilizados en la literatura&#46; Cada modelo asume que existen tres factores o variables latentes &#40;el nivel&#44; la pendiente y la curvatura&#41; que explican la mayor parte de la din&#225;mica de la EPTI&#44; expresando las tasas de inter&#233;s &#40;para cualquier plazo&#41; en funci&#243;n de estos factores&#46; De esta manera&#44; y dada la din&#225;mica de estos factores impl&#237;citos en cada modelo&#44; se pueden simular trayectorias futuras para los factores y&#44; a partir de su relaci&#243;n con las diferentes tasas de inter&#233;s para diferentes plazos&#44; obtener tasas de inter&#233;s simuladas&#46; Esto permite simular un gran n&#250;mero de trayectorias posibles de la futura curva de rendimientos&#44; consistentes con la din&#225;mica impl&#237;cita de cada modelo&#46; Con estas tasas luego se valoran los t&#237;tulos dentro del portafolio y se construye la distribuci&#243;n emp&#237;rica del valor del mismo&#46; Una vez obtenida la distribuci&#243;n emp&#237;rica simulada del valor del portafolio&#44; se calculan los cambios posibles respecto a su valor actual y se selecciona el percentil de la distribuci&#243;n de cambios del valor del portafolio correspondiente al nivel de confianza con que se est&#225; estimando el VaR&#46; La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0005">figura 1</a> ilustra la metodolog&#237;a propuesta para calcular el VaR de portafolios de renta fija a partir de modelos din&#225;micos de la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s&#46;</p><elsevierMultimedia ident="fig0005"></elsevierMultimedia><span id="sec0040" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;2&#46;1</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0085">Estimaci&#243;n de los modelos</span><p id="par0300" class="elsevierStylePara elsevierViewall">A partir de los par&#225;metros calculados por Infovalmer para el mercado de tasas de inter&#233;s colombiano correspondientes al modelo de Nelson y Siegel &#40;Betas&#41;&#44; se calcula la curva de rendimientos diaria entre los a&#241;os 2003 a 2013&#46; Posteriormente&#44; se calculan los factores de pendiente&#44; nivel y curvatura para cada modelo<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0020"><span class="elsevierStyleSup">4</span></a>&#46; Las estimaciones de los modelos DL y DRA siguen las metodolog&#237;as utilizadas en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a>&#44; respectivamente&#46; Por su parte&#44; la estimaci&#243;n de los factores del ATSM se realiza aplicando la t&#233;cnica de estimaci&#243;n de m&#225;xima verosimilitud propuesta por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0015">A&#239;t-Sahalia &#40;2008&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0020">A&#239;t-Sahalia y Kimmel &#40;2010&#41;</a> &#40;los detalles de dicha estimaci&#243;n se pueden encontrar en <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0260">Vel&#225;squez-Giraldo y Restrepo-Tob&#243;n&#44; 2016</a>&#41;&#46; Los vencimientos para los cuales se estiman la curva de rendimientos corresponden a 0&#44;25&#44; 0&#44;5&#44; 1&#44; 2&#44; 4&#44; 5&#44; 7&#44; 8&#44; 9 y 10<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>a&#241;os y la estimaci&#243;n se hace para un modelo de tres factores no observables&#46; La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#tbl0005">tabla 1</a> presenta las estad&#237;sticas descriptivas de las tasas de inter&#233;s utilizadas para la estimaci&#243;n entre el 3 de enero de 2003 y el 30 de diciembre de 2013&#46; La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0010">figura 2</a> ilustra la curva de rendimientos estimada con la metodolog&#237;a NS para dicho periodo&#46;</p><elsevierMultimedia ident="tbl0005"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="fig0010"></elsevierMultimedia></span><span id="sec0045" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;2&#46;2</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0090">Pron&#243;stico de la EPTI</span><p id="par0305" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Con los datos de las tasas de inter&#233;s entre 2003 y 2013 para los plazos seleccionados&#44; se estiman los factores subyacentes para cada uno de los modelos considerados &#40;DL&#44; DRA y ATSM&#41;&#44; comenzando el d&#237;a 2 de enero de 2014&#46; Con los factores y par&#225;metros estimados para este d&#237;a se hacen 10&#46;000 pron&#243;sticos de la curva de rendimiento para el siguiente d&#237;a &#40;3 de enero de 2014&#41;&#46; Este procedimiento se repite secuencialmente para 615 d&#237;as adicionales entre el 3 de enero de 2014 y el 14 de julio de 2016&#44; para un total de 616 d&#237;as&#46; Como resultado se obtienen 10&#46;000 diferentes curvas de rendimiento para cada d&#237;a y para cada modelo&#46; A continuaci&#243;n se detalla el proceso de pron&#243;stico &#40;simulaci&#243;n&#41; de la curva de rendimientos con cada modelo&#46;</p><p id="par0310" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En el caso del modelo DL&#44; se ajusta un modelo autorregresivo AR&#40;1&#41; a cada una de las diferencias diarias de los factores &#916;<span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">i</span>&#44;<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#61;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">&#945;</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">i</span></span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#42;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#916;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">&#946;</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">i</span>&#44;<span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#8722;1</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#43;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">&#949;</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">i</span>&#44;<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">con</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">i</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#61;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>0&#44; 1&#44; 2&#59; donde <span class="elsevierStyleItalic">&#949;</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">i</span>&#44;<span class="elsevierStyleItalic">t</span></span> es una perturbaci&#243;n aleatoria con media cero&#46; Para la simulaci&#243;n de las curvas de rendimiento a un d&#237;a se adopta una metodolog&#237;a de <span class="elsevierStyleItalic">bootstrapping</span> que consiste en representar la perturbaci&#243;n con una de sus realizaciones anteriores&#46; As&#237;&#44; la ecuaci&#243;n de simulaci&#243;n para cada factor en el modelo de DL es &#946;&#710;i&#44;t&#61;&#946;i&#44;t&#8722;1&#43;&#945;i&#710;&#42;&#916;&#8201;&#946;i&#44;t&#8722;1&#43;&#949;&#732;t&#44; donde &#945;i&#710; es estimado por OLS y &#949;&#732;t corresponde a uno de los residuales de la estimaci&#243;n seleccionado aleatoriamente con reemplazo&#46;</p><p id="par0315" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Por su parte&#44; el modelo DRA tiene en cuenta la posible relaci&#243;n entre los factores y entre sus perturbaciones&#46; De acuerdo con las ecuaciones 4 y 8&#44; la ecuaci&#243;n de simulaci&#243;n para la obtenci&#243;n de los factores es&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0085"></elsevierMultimedia></p><p id="par0320" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde &#951;&#710;t&#43;1 es una simulaci&#243;n de una variable aleatoria normal multivariada de media cero y matriz de covarianzas Q&#710;&#46; De esta forma&#44; luego de obtener los factores para cada d&#237;a <span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#44; se toma la esperanza de la ecuaci&#243;n &#40;7&#41; para pronosticar las tasas de inter&#233;s del siguiente periodo&#46;</p><p id="par0325" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Finalmente&#44; el ATSM es un modelo continuo&#46; Para la simulaci&#243;n a partir de dicho modelo se requiere utilizar un m&#233;todo de discretizaci&#243;n&#46; En este caso se aplica el esquema num&#233;rico de Euler&#44; obteniendo la siguiente ecuaci&#243;n de simulaci&#243;n&#58;<elsevierMultimedia ident="eq0090"></elsevierMultimedia></p><p id="par0335" class="elsevierStylePara elsevierViewall">donde W&#710;t&#43;1 es una simulaci&#243;n de una variable aleatoria normal est&#225;ndar y <span class="elsevierStyleItalic">&#948;</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#61;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>1&#47;252 dado que se simulan datos diarios&#46; Por su parte&#44; Xt al ser no observable&#44; debe obtenerse cada d&#237;a invirtiendo la ecuaci&#243;n &#40;15&#41; para los rendimientos al vencimiento de 0&#44;25&#44; 4 y 10<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>a&#241;os&#46;</p></span><span id="sec0050" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;2&#46;3</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0095">C&#225;lculo del VaR</span><p id="par0340" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Una vez se obtienen las EPTI simuladas para cada modelo y los 616 d&#237;as&#44; se procede a valorar el portafolio para cada uno de esos d&#237;as&#46; La valoraci&#243;n se hace con las curvas de rendimientos simuladas para cada uno de los modelos utilizados &#40;DL&#44; DRA&#44; ATSM&#41;&#46; De esta forma se obtienen tres distribuciones simuladas del valor del portafolio &#40;una por modelo&#41; para cada d&#237;a perteneciente al periodo de pron&#243;stico&#46; A partir de la distribuci&#243;n de los valores del portafolio&#44; se puede calcular el cambio en el valor del portafolio con respecto al d&#237;a anterior&#44; lo cual produce tres distribuciones por d&#237;a de los cambios en el valor del portafolio&#46; Para calcular el VaR con un nivel de confianza del 95&#37;&#44; se toma el percentil 5 de estas distribuciones como estimaci&#243;n del VaR del portafolio a un d&#237;a&#46; Para el caso del presente estudio&#44; el portafolio de renta fija est&#225; compuesto por el T&#237;tulo del Gobierno Colombiano &#40;TES&#41; con vencimiento en julio de 2024&#44; el cual es uno de los m&#225;s negociados en el mercado&#46;</p></span></span><span id="sec0055" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;3</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0100">Backtesting</span><p id="par0345" class="elsevierStylePara elsevierViewall">De acuerdo con la literatura&#44; el proceso de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> debe ser realizado con m&#225;s de un m&#233;todo&#44; puesto que los resultados de un solo test pueden no ser suficientes para evaluar el desempe&#241;o de un modelo de estimaci&#243;n del VaR &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0155">Haas&#44; 2001</a>&#41;&#46; En este trabajo se aplican las pruebas de cubrimiento incondicional y cubrimiento condicional del VaR&#46; Estas pruebas&#44; sin embargo&#44; no son apropiadas para comparar el desempe&#241;o relativo de los modelos respecto al c&#225;lculo del VaR&#46; Para comparar el desempe&#241;o de estos modelos se utiliza el m&#233;todo de funciones de p&#233;rdida propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0190">Lopez &#40;1999&#41;</a>&#46; Estas medidas se describen a continuaci&#243;n&#46;</p><span id="sec0060" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;3&#46;1</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0105">Pruebas de cubrimiento incondicional</span><p id="par0350" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Las pruebas de cubrimiento incondicional se basan en determinar el n&#250;mero de excepciones<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0025"><span class="elsevierStyleSup">5</span></a> del VaR&#46; Si el n&#250;mero de excepciones es menor que el correspondiente&#44; de acuerdo con el nivel de confianza<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0030"><span class="elsevierStyleSup">6</span></a> seleccionado&#44; significa que el riesgo del sistema est&#225; sobreestimado&#44; y en caso contrario se concluye que el riesgo est&#225; siendo subestimado&#46;</p><p id="par0355" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Siguiendo a <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec &#40;1995&#41;</a>&#44; se aplican dos tipos de test que determinan el desempe&#241;o de los modelos en cuanto a la estimaci&#243;n del VaR&#46; El primero es el test de proporci&#243;n de fallos &#40;POF test&#41;&#46; Este test compara si el n&#250;mero de excepciones encontradas es consistente con el n&#250;mero de excepciones sugeridas por el nivel de confianza&#46; Bajo la hip&#243;tesis nula de que el modelo es correcto&#44; el n&#250;mero de excepciones sigue una distribuci&#243;n binomial&#46; As&#237;&#44; la hip&#243;tesis nula se puede escribir como H0&#58;p&#61;p&#710;&#61;x&#47;T&#44; donde <span class="elsevierStyleItalic">x</span> es el n&#250;mero de excepciones&#44; <span class="elsevierStyleItalic">T</span> es el n&#250;mero de observaciones y <span class="elsevierStyleItalic">p</span> se define como p<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#61;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#40;1<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#8722;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>c&#41;&#44; donde c es el nivel de confianza bajo el que se realiza el <span class="elsevierStyleItalic">backtesting&#46;</span></p><p id="par0360" class="elsevierStylePara elsevierViewall">De acuerdo con <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec &#40;1995&#41;</a>&#44; el estad&#237;stico <span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">POF</span></span> asociado a la funci&#243;n de verosimilitud se distribuye asint&#243;ticamente como una distribuci&#243;n chi-cuadrada con un grado de libertad&#46; El segundo test es la prueba de tiempo hasta el primer fallo &#40;TUFF test&#41; propuesto por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec &#40;1995&#41;</a>&#46; Esta prueba tiene como fin medir el periodo de tiempo que se tarda en presentarse la primera excepci&#243;n y se basa en supuestos similares a los del <span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">POF</span></span> y se distribuye asint&#243;ticamente &#967;<span class="elsevierStyleSup">2</span> con un grado de libertad&#46;</p></span><span id="sec0065" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;3&#46;2</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0110">Pruebas de cubrimiento condicional</span><p id="par0365" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Las pruebas de cubrimiento condicional&#44; al igual que las de cubrimiento incondicional&#44; est&#225;n basadas en el n&#250;mero de excepciones&#46; Sin embargo&#44; bajo este enfoque se espera que las excepciones se distribuyan uniformemente en el tiempo y que sean independientes&#59; asegurando que la estimaci&#243;n del VaR no se vea significativamente afectada ante cambios de volatilidad y correlaciones&#46; Siguiendo a <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0065">Christoffersen &#40;1998&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0155">Haas &#40;2001&#41;</a>&#44; se aplican dos pruebas que permiten medir el cumplimiento de la propiedad de cubrimiento condicional en la estimaci&#243;n del VaR&#46; La primera es la prueba de intervalos de pron&#243;stico de Christoffersen&#46; Esta prueba&#44; adem&#225;s de contrastar el n&#250;mero de excepciones respecto al ideal te&#243;rico&#44; incluye un estad&#237;stico para determinar la independencia de las excepciones &#40;determinar si la excepci&#243;n de un d&#237;a depende del d&#237;a anterior&#41;&#46; El estad&#237;stico para esta prueba est&#225; definido por <span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">cc</span></span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#61;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">POF</span></span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#43;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">ind</span></span>&#44; donde <span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">cc</span></span> se distribuye &#967;<span class="elsevierStyleSup">2</span> con dos grados de libertad&#46; Otra prueba utilizada en el <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> es el test mixto de Kupiec &#40;<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0155">Haas&#44; 2001</a>&#41;&#44; dado por <span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">mix</span></span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#61;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">POF</span></span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#43;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">ind</span></span>&#44; donde <span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">mix</span></span> se distribuye &#967;<span class="elsevierStyleSup">2</span> con <span class="elsevierStyleItalic">n</span> grados de libertad&#44; siendo <span class="elsevierStyleItalic">n</span> el n&#250;mero de excepciones&#46; De esta forma&#44; el t&#233;rmino <span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">POF</span></span> corresponde al sugerido por <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec &#40;1995&#41;</a> y el <span class="elsevierStyleItalic">LR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">ind</span></span> es el estad&#237;stico utilizado para poner a prueba la independencia de las excepciones&#46;</p></span><span id="sec0070" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">3&#46;3&#46;3</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0115">Funciones de p&#233;rdida</span><p id="par0370" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Las funciones de p&#233;rdida se basan en determinar la magnitud del exceso reportado entre las excepciones y la p&#233;rdida real&#46; Siguiendo la propuesta de <a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0185">Lopez &#40;1998&#44; 1999&#41;</a>&#44; se eval&#250;a el desempe&#241;o de los modelos de acuerdo con los resultados obtenidos al minimizar las funciones de p&#233;rdida&#46; Estas funciones se definen por <span class="elsevierStyleItalic">L</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#61;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>1<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#43;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#40;<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#43;1</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#8722;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">VaR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span></span>&#41;<span class="elsevierStyleSup">2</span> si <span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#43;1</span><span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>&#8804;<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span><span class="elsevierStyleItalic">VaR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span></span>&#40;<span class="elsevierStyleItalic">&#945;</span>&#41; e igual a cero en otro caso&#46; En este caso&#44; <span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span>&#43;1</span> es el retorno realizado del portafolio y el <span class="elsevierStyleItalic">VaR</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">t</span></span> es el VaR estimado en el momento <span class="elsevierStyleItalic">t</span> &#40;como porcentaje&#41;&#46; El estad&#237;stico definido para esta prueba se basa en el c&#225;lculo de la p&#233;rdida promedio de la muestra&#44; la cual es igual a L&#710;&#61;1&#47;T&#8721;tTL&#44; donde el valor de L&#710; para cada modelo es comparado entre estos&#44; de tal forma que el modelo de mejor desempe&#241;o es aquel para el cual la funci&#243;n de p&#233;rdida es menor&#46;</p></span></span></span><span id="sec0075" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">4</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0120">Resultados emp&#237;ricos</span><p id="par0375" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En la <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#tbl0010">tabla 2</a> se reporta el MSE y RMSE para las tasas de inter&#233;s estimadas por los tres modelos respecto a las tasas de inter&#233;s calculadas bajo la metodolog&#237;a de NS&#46; Los tres modelos presentan un alto grado de ajuste para las tasas correspondientes a 0&#44;25&#44; 0&#44;5&#44; 1&#44; 2&#44; 4&#44; 5&#44; 7&#44; 9 y 10<span class="elsevierStyleHsp" style=""></span>a&#241;os&#46;</p><elsevierMultimedia ident="tbl0010"></elsevierMultimedia><p id="par0380" class="elsevierStylePara elsevierViewall">La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0015">figura 3</a> ilustra el valor del VaR para el periodo comprendido entre el 3 de enero de 2014 y el 15 de julio de 2016&#46; La l&#237;nea negra muestra al cambio real diario en el valor del portafolio&#46; Por su parte&#44; la l&#237;nea de tono m&#225;s tenue ilustra el valor del VaR del portafolio estimado usando el m&#233;todo de duraci&#243;n&#46; En la figura se presentan adicionalmente las estimaciones del VaR obtenidas al usar las metodolog&#237;as expuestas en la secci&#243;n 3 para cada uno de los modelos discutidos&#58; ATSM&#44; DRA y DL&#46;</p><elsevierMultimedia ident="fig0015"></elsevierMultimedia><p id="par0385" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El proceso de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> para los 616 diferentes VaR calculados se hace con los niveles de confianza del 90&#44; del 95&#44; del 97&#44;5 y del 99&#37;&#46; Para estos niveles de confianza&#44; el n&#250;mero de veces que se espera que la p&#233;rdida real del portafolio sea superior &#40;en valor absoluto&#41; al valor del VaR estimado es 62&#44; 31&#44; 15 y 6&#44; respectivamente&#46; En cuanto al VaR calculado para cada d&#237;a con el modelo DL no se encuentra ninguna excepci&#243;n&#44; lo cual es coherente con los resultados ilustrados en la <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0015">figura 3</a>&#44; donde se observa que bajo este modelo el resultado del VaR sobreestima significativamente la p&#233;rdida del portafolio&#46; De otro lado&#44; el n&#250;mero de excepciones que presentan los modelos DRA y ATSM son 4 y 65&#44; respectivamente&#46; Como se ilustra en la <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fig0015">figura 3</a>&#44; el VaR calculado para cada d&#237;a con el modelo ATSM sigue de cerca la verdadera p&#233;rdida del portafolio&#44; lo que hace que el n&#250;mero de excepciones sea mayor para este modelo y muy por encima de las excepciones te&#243;ricas esperadas &#40;6 a un nivel de confianza del 99&#37; para el <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span>&#41;&#46; Finalmente&#44; el n&#250;mero de excepciones para el modelo DRA es significativamente menor &#40;4&#41;&#44; n&#250;mero cercano al esperado basado en un nivel de confianza del 99&#37;&#46;</p><p id="par0390" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Para determinar si estos valores son estad&#237;sticamente diferentes a los esperados para cada nivel de confianza se debe utilizar la prueba POF de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0170">Kupiec &#40;1995&#41;</a>&#46; La <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#tbl0015">tabla 3</a> presenta los resultados asociados a esta prueba para cuatro diferentes niveles de confianza&#46; Es importante aclarar que estos niveles de confianza no corresponden a los usados en el calcul&#243; el VaR sino al nivel de confianza con el que se pretende realizar la prueba de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span>&#46; De esta forma&#44; la primera columna indica el modelo&#44; la segunda el nivel de confianza del <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span>&#44; la tercera el valor cr&#237;tico del test&#44; la cuarta columna el valor del estad&#237;stico calculado y la quinta indica si la hip&#243;tesis nula de que el n&#250;mero de excepciones es igual a las esperadas se acepte &#40;A&#41; o se rechace &#40;R&#41;&#46; Para el modelo DRA&#44; para un nivel de confianza del 99&#37;&#44; se acepta que el n&#250;mero de excepciones observadas &#40;4&#41; est&#225; en l&#237;nea con el n&#250;mero de excepciones esperadas&#46; Para los dem&#225;s niveles de confianza se rechaza la hip&#243;tesis nula&#46; Para el modelo ATSM&#44; solo si se baja a un nivel de confianza inferior al 90&#37; se aceptar&#237;a dicha hip&#243;tesis&#46; Finalmente&#44; el modelo DL&#44; por sobreestimar sistem&#225;ticamente el VaR&#44; no presenta ninguna excepci&#243;n y&#44; por tanto&#44; no es posible calcular el estad&#237;stico de la prueba POF&#46;</p><elsevierMultimedia ident="tbl0015"></elsevierMultimedia><p id="par0395" class="elsevierStylePara elsevierViewall">De acuerdo a estos resultados&#44; los tres modelos se desempe&#241;an pobremente respecto al n&#250;mero de excepciones encontradas versus las esperadas&#46; De un lado&#44; el DRA presenta muy pocas excepciones respecto a las esperadas&#44; mientras que el ATSM presenta muchas&#46; Sin embargo&#44; la prueba POF solo tiene en cuenta el n&#250;mero de excepciones y no c&#243;mo esas excepciones se presentan en el tiempo&#46; Como se mencion&#243; anteriormente&#44; la prueba TUFF resuelve este problema&#46; Sin embargo&#44; los resultados de esta prueba deben verse con cuidado&#44; dado que esta tiene un bajo poder y&#44; por tanto&#44; no debe ser un indicador definitivo en cuanto a las conclusiones del desempe&#241;o de un modelo en la estimaci&#243;n del VaR&#46;</p><p id="par0400" class="elsevierStylePara elsevierViewall">La siguiente prueba de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> considerada es la prueba de independencia de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0065">Christoffersen &#40;1998&#41;</a>&#46; Para esta prueba se encontr&#243; que la hip&#243;tesis nula de que las excepciones son independientes en el tiempo se debe rechazar para la mayor&#237;a de los niveles de confianza considerados&#46; Por otra parte&#44; aplicando el test mixto de Kupiec&#44; para evaluar la hip&#243;tesis nula de que el n&#250;mero de excepciones est&#225; en l&#237;nea con las esperadas y que las mismas ocurren de forma independiente en el tiempo&#44; se encontr&#243; que el modelo DRA tiene un desempe&#241;o adecuado para niveles de confianza del 97&#44;5 y del 99&#37;&#46;</p><p id="par0405" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Respecto a las pruebas basadas en las funciones de p&#233;rdida&#44; se encuentra que el modelo que presenta la p&#233;rdida m&#225;s peque&#241;a es el modelo ATSM&#46; El estad&#237;stico de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0190">Lopez &#40;1999&#41;</a> es igual a 14&#44;19&#44; 3&#44;81&#44; y 1&#44;46&#44; para los modelos DL&#44; DRA y ATSM&#44; respectivamente&#46; Sin embargo&#44; teniendo en cuenta el pobre desempe&#241;o del modelo ATSM en las pruebas de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> debido a la subvaloraci&#243;n de la p&#233;rdida esperada&#44; no es sorprendente que en la prueba de funciones de p&#233;rdida este modelo tenga un mejor desempe&#241;o&#46;</p><p id="par0410" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Tomados en conjunto&#44; los resultados indican que el VaR estimado bajo la metodolog&#237;a propuesta se desempe&#241;a pobremente respecto a las principales pruebas de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> existentes en la literatura&#46; Este resultado es sorprendente debido a que los modelos din&#225;micos de tasas de inter&#233;s han ganado una gran popularidad en los &#250;ltimos a&#241;os para modelar la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s&#46; Una de las razones podr&#237;a ser que&#44; aunque estos modelos son din&#225;micos&#44; dicha propiedad solo captura la din&#225;mica del nivel de las tasas de inter&#233;s&#44; pero no la din&#225;mica de sus volatilidades&#46; Los tres modelos investigados asumen que la matriz de varianzas y covarianzas de los factores latentes a cada modelo es constante&#44; lo cual limita su utilidad en el c&#225;lculo del VaR&#46; Modelos que relajen este supuesto deber&#237;an ofrecer un mejor desempe&#241;o y ser m&#225;s adecuados para la gesti&#243;n del riesgo de portafolios de renta fija&#46; En futuras investigaciones podr&#237;a ser fruct&#237;fero utilizar modelos din&#225;micos con volatilidad din&#225;mica o estoc&#225;stica&#46;</p></span><span id="sec0080" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleLabel">5</span><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0125">Conclusiones</span><p id="par0415" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Este art&#237;culo tiene como objetivo investigar el desempe&#241;o relativo de dos clases de modelos din&#225;micos de estructura a plazo de tasas de inter&#233;s respecto a la estimaci&#243;n del VaR de un portafolio de renta fija&#46; La principal hip&#243;tesis del estudio es que&#44; dado que los modelos din&#225;micos de tasas de inter&#233;s han mostrado un buen desempe&#241;o emp&#237;rico en pronosticar la curva de rendimientos&#44; el VaR calculado a partir de estos modelos deber&#237;a tener un buen desempe&#241;o respecto a las pruebas de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> m&#225;s utilizadas en la literatura&#46;</p><p id="par0420" class="elsevierStylePara elsevierViewall">La principal justificaci&#243;n para utilizar estos modelos en el c&#225;lculo del VaR es su buen desempe&#241;o en pronosticar la curva de rendimientos &#40;<a class="elsevierStyleCrossRefs" href="#bib0100">Diebold y Li&#44; 2006&#59; Diebold et al&#46;&#44; 2006&#59; De Pooter&#44; 2007&#59; Beltratti y Colla&#44; 2007&#59; Piazzesi&#44; 2010&#59; Diebold y Rudebusch&#44; 2011&#44; 2013&#59; Duffee&#44; 2013&#59; G&#252;rkaynak y Wright&#44; 2012</a>&#41;&#46; No obstante&#44; los resultados emp&#237;ricos indican que ninguno de los tres modelos considerados presenta un desempe&#241;o superior uniforme en la estimaci&#243;n del VaR de acuerdo a las pruebas de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> utilizadas&#46;</p><p id="par0425" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Los modelos usados en el presente estudio son el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a>&#44; el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> y un modelo af&#237;n gaussiano de no arbitraje&#46; El modelo af&#237;n de no arbitraje presenta el mejor desempe&#241;o relativo respecto a la estimaci&#243;n del VaR basado en funciones de p&#233;rdida&#44; pero es el modelo que lleva a cometer m&#225;s errores en el c&#225;lculo del VaR&#46; En general&#44; este modelo subestima el VaR&#46; Por su parte&#44; el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> tiene un buen desempe&#241;o respecto a las prueba de cubrimiento condicional e incondicional del VaR&#46; Esto indica que dicho modelo podr&#237;a ser un buen candidato para ser utilizado en el c&#225;lculo del VaR&#46; Las pruebas de cubrimiento condicional e incondicional indican que el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> cumple con todas las propiedades del VaR para niveles de confianza del 97&#44;5 y del 99&#37; en las pruebas de <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span>&#46; Adicionalmente&#44; el valor de la funci&#243;n de p&#233;rdida para dicho modelo parece adecuado en comparaci&#243;n con el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> y el ATSM&#46; Por el contrario&#44; el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0100">Diebold y Li &#40;2006&#41;</a> sobreestima uniformemente el VaR para todos los d&#237;as considerados&#46;</p><p id="par0430" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Una posible raz&#243;n que explica el pobre desempe&#241;o de los modelos din&#225;micos en la estimaci&#243;n del VaR es que dichos modelos capturan adecuadamente solo el primer momento de la distribuci&#243;n de las tasas de inter&#233;s a diferentes plazos&#46; Esta hip&#243;tesis es consistente con la evidencia emp&#237;rica soportando su utilidad en el pron&#243;stico de las tasas de inter&#233;s&#46; No obstante&#44; al parecer los momentos de orden superior de las tasas de inter&#233;s a diferentes plazos no son adecuadamente capturados y son precisamente estos momentos los que determinan su utilidad en la estimaci&#243;n del VaR&#46; Esto podr&#237;a deberse a que los modelos din&#225;micos de tasas de inter&#233;s asumen que la matriz de varianzas y covarianzas de los factores latentes que explican la din&#225;mica de la estructura a plazos de tasas de inter&#233;s es constante&#46; Relajar este supuesto parece conducir a mejores resultados&#46; Por ejemplo&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a> modelan dicha matriz asumiendo que las volatilidades de dichos factores cambian en el tiempo y obtienen resultados apropiados en cuanto al c&#225;lculo del VaR&#46; No obstante&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0045">Caldeira et al&#46; &#40;2015&#41;</a> modelan la volatilidad de dichos factores independientemente del primer momento de la distribuci&#243;n&#44; lo cual es inconsistente con los supuestos realizados en la estimaci&#243;n de los modelos&#46;</p><p id="par0435" class="elsevierStylePara elsevierViewall">De esta forma&#44; la principal conclusi&#243;n del estudio es que entre los modelos considerados&#44; el modelo de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0105">Diebold et al&#46; &#40;2006&#41;</a> se desempe&#241;a adecuadamente respecto a las pruebas del <span class="elsevierStyleItalic">backtesting</span> del VaR y debe ser preferido en aplicaciones emp&#237;ricas&#46; No obstante&#44; antes de utilizar dichos modelos en la estimaci&#243;n del riesgo de portafolios de renta fija&#44; se debe modelar conjuntamente tanto el nivel de las tasas de inter&#233;s como la evoluci&#243;n de su matriz de varianzas y covarianzas&#46; Debe tenerse en cuenta que la utilidad de dichos modelos para estimar el VaR de portafolios de renta fija debe ser sopesada respecto a los costos asociados a la implementaci&#243;n y estimaci&#243;n de dichos modelos&#46; Con respecto a este punto&#44; los trabajos de <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0215">P&#233;rignon y Smith &#40;2007&#41;</a>&#44; <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0250">Trolle y Schwartz &#40;2009&#41;</a> y <a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0080">Creal y Wu &#40;2015&#41;</a> pueden ser un buen punto de partida&#44; lo cual se deja para futuras investigaciones&#46;</p></span><span id="sec0085" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0130">Conflicto de intereses</span><p id="par0440" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Los autores declaran no tener ning&#250;n conflicto de intereses&#46;</p></span></span>"
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                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">7&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">8&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">9&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">10&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th></tr></thead><tbody title="tbody"><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Media&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;70&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">6&#44;00&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">6&#44;55&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">7&#44;39&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">8&#44;42&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">8&#44;73&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">9&#44;14&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">9&#44;27&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">9&#44;37&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">9&#44;45&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Desviaci&#243;n est&#225;ndar&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;09&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;14&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;26&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;46&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;66&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;71&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;74&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;75&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;75&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;76&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">M&#237;nimo&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">1&#44;44&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;02&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;91&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#44;67&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;08&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;27&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;54&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;65&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;75&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;84&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">1&#46;<span class="elsevierStyleSup">er</span> cuartil&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;06&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;17&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;54&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;14&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">6&#44;16&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">6&#44;48&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">6&#44;90&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">7&#44;05&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">7&#44;17&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">7&#44;27&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Mediana&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;20&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;32&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;67&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">6&#44;36&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">7&#44;66&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">8&#44;10&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">8&#44;61&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">8&#44;72&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">8&#44;78&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">8&#44;84&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">3&#46;<span class="elsevierStyleSup">er</span> cuartil&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">7&#44;38&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">7&#44;97&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">8&#44;86&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">9&#44;52&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">10&#44;43&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">10&#44;77&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">11&#44;06&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">11&#44;09&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">11&#44;13&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">11&#44;11&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">M&#225;ximo&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">11&#44;44&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">11&#44;66&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">12&#44;88&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">14&#44;40&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">16&#44;13&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">16&#44;35&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">16&#44;68&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">16&#44;84&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">17&#44;01&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">17&#44;18&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">Observaciones&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#46;186&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr></tbody></table>
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                  \t\t\t\t" class=""><thead title="thead"><tr title="table-row"><th class="td" title="table-head  " rowspan="2" align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Vencimiento &#40;a&#241;os&#41;</th><th class="td" title="table-head  " colspan="3" align="center" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">MSE</th><th class="td" title="table-head  " colspan="3" align="center" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">RMSE</th></tr><tr title="table-row"><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">DL&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">DRA&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">ATSM&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">DL&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">DRA&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">ATSM&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th></tr></thead><tbody title="tbody"><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">0&#44;25&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;006&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;010&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;080&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;120&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">0&#44;5&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;001&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;007&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;020&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;260&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">1&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;007&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;010&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;140&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;080&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;110&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;370&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">2&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;003&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;020&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;050&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;060&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;130&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;230&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">4&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;002&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;004&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;001&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;050&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;030&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">5&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;004&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;003&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;002&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;060&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;050&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">7&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;002&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;002&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;003&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;040&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;010&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;070&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">8&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;002&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;002&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;010&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;050&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">9&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;001&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;001&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;001&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;020&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;050&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;030&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">10&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;003&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;003&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;003&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;060&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">0&#44;050&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">&#8722;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr></tbody></table>
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                  \t\t\t\t" class=""><thead title="thead"><tr title="table-row"><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Modelo&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Nivel de confianza&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Valor cr&#237;tico &#967;<span class="elsevierStyleSup">2</span>&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">LR<span class="elsevierStyleInf">POF</span>&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">A&#47;R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">LR<span class="elsevierStyleInf">TUFF</span>&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">A&#47;R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">LR<span class="elsevierStyleInf">ind</span>&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">A&#47;R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">Valor cr&#237;tico &#967;<span class="elsevierStyleSup">2</span>&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">LR<span class="elsevierStyleInf">mix</span>&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th><th class="td" title="table-head  " align="left" valign="top" scope="col" style="border-bottom: 2px solid black">A&#47;R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</th></tr></thead><tbody title="tbody"><tr title="table-row"><td class="td" title="table-entry  " rowspan="4" align="left" valign="top">DRA</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">99&#44;0&#37;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">6&#44;63&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">0&#44;87&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">1&#44;65&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;88&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">9&#44;21&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">1&#44;68&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">97&#44;5&#37;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;02&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">12&#44;23&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">0&#44;40&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;88&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">7&#44;38&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#44;09&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">95&#44;0&#37;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#44;84&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">38&#44;48&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">0&#44;00&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;88&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;99&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">10&#44;67&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">90&#44;0&#37;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;71&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">0&#44;67&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td" title="table-entry  " colspan="12" align="left" valign="top"><span class="elsevierStyleVsp" style="height:0.5px"></span></td></tr><tr title="table-row"><td class="td" title="table-entry  " rowspan="4" align="left" valign="top">ATSM</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">99&#44;0&#37;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">6&#44;63&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">59&#44;89&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">97&#44;5&#37;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">5&#44;02&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">4&#44;7&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">95&#44;0&#37;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#44;84&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">3&#44;3&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">17&#44;3&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">R&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">52&#44;19&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">83&#44;4&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td></tr><tr title="table-row"><td class="td-with-role" title="table-entry ; entry_with_role_rowhead " align="left" valign="top">90&#44;0&#37;&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="char" valign="top">2&#44;71&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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                  \t\t\t\t</td><td class="td" title="table-entry  " align="left" valign="top">A&nbsp;\t\t\t\t\t\t\n
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Información del artículo

ISSN: 01235923
Idioma original: Español

DOI:10.1016/j.estger.2017.02.003

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