Hay 3 formas de representar el movimiento del fluido: lagrangiana, euleriana y arbitraria o ALE. La configuración material o lagrangiana ΩX está constituida por el conjunto o sistema de partículas materiales asociadas a las coordenadas X. Por otro lado, la descripción espacial o euleriana Ωx se compone de puntos correspondientes a las coordenadas espaciales x. Por último, la configuración de referencia Ωχ, que es arbitraria, es la asociada a los datos de la discretización espacial del método numérico, y cuyas coordenadas referenciales χ son las empleadas en la resolución numérica.

La velocidad absoluta de una partícula con respecto al marco euleriano, o velocidad material, es definida como:

Por otro lado, al emplear para el movimiento una formulación ALE, en la cual el dominio de referencia no coincide con el dominio espacial, la velocidad relativa de la malla con respecto al marco euleriano es dada por la expresión [10,12]:

Por último, la velocidad convectiva c se define de la siguiente manera [10,12]:

El uso de un paradigma ALE requiere la expresión de las ecuaciones de gobierno en la configuración de referencia, para lo cual se necesita establecer las relaciones entre esta y las cantidades intervinientes. La forma a emplear con este fin es la denominada «Ecuación Fundamental ALE»[10], que para una cantidad física escalar f es:

Las ecuaciones en derivadas parciales que representan el flujo de un fluido viscoso, homogéneo e incompresible son las de NS incompresibles, esto es, la expresión diferencial de conservación de la cantidad de movimiento, junto con la condición de incompresibilidad del fluido. En un referencial euleriano, estas pueden escribirse como:

Las expresiones dadas son referidas a coordenadas espaciales x, y no contemplan la posibilidad de la deformación del dominio Ω. Debido a que el problema del flujo debe plantearse en un dominio cuya forma geométrica varía como consecuencia del desplazamiento y la deformación de la SL, se establece una relación entre las ecuaciones antes consideradas, para el dominio espacial fijo Ωx, y las que relacionan estas con un dominio de referencia arbitrario Ωχ. Para ello, se utilizan las formas ALE de las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento y de continuidad [10], dadas por:

Nótese que solo la ecuación de cantidad de movimiento se ve afectada por la velocidad del dominio de referencia vˆ, que interviene a través de la velocidad convectiva c dada por la ecuación (4).

Las condiciones de contorno en las fronteras Γ del dominio son las siguientes:

En el caso de SL, y para una aproximación lagrangiana con representación homogénea del fluido, la condición de contorno sobre la SL, ΓSL⊆Γt, consiste en el equilibrio entre las proyecciones en dirección normal a la interfase de los tensores de tensiones en el líquido y en el gas, σl y σg, respectivamente,

Las condiciones iniciales en los problemas a ser resueltos por las ecuaciones de NS, en sus variantes para fluidos homogéneos dadas por las ecuaciones (6)–(7), o bien las (11)–(12), son indicadas sobre la velocidad:

La discretización se realiza sobre las ecuaciones (6)–(7)[38]. Para ello, el dominio Ω se divide en nel elementos finitos Ωe, siendo E el conjunto de todos los elementos y H1h el espacio de dimensión finita definido como sigue,

En un paradigma ALE, la velocidad con la cual se determinan los coeficientes de estabilización de las ecuaciones (28), (30) y (32) es la velocidad convectiva c. Además, el tamaño de elemento h se determina mediante:

Una vez realizada la discretización espacial de la ecuación (24) se obtiene el sistema de ecuaciones algebraicas que se resuelve numéricamente. La integración temporal consiste en un esquema en diferencias, mediante un método tipo θ[10], tal que 0≤θ≤1. En este esquema, θ>1/2 es incondicionalmente estable, correspondiendo θ=1 a Retro-Euler y θ=0 a Euler hacia adelante.

Las condiciones de contorno sobre ΓD, esto es, sobre la velocidad vD, se adoptan de acuerdo al tipo de problema a resolver numéricamente. Las condiciones más usuales son las siguientes.

• •

  Pared inmóvil: toma la forma

  
  dada la hipótesis de fluido viscoso adoptada para el modelo.

• •

  Puntos de contacto fluido-fluido-sólido: en las zonas de frontera sólida cercanas a la SL, la imposición de la ecuación (36) en el problema discreto produce inconvenientes en el movimiento de la malla, ya que las entidades que definen la línea de contacto se verían sometidos a grandes gradientes en la elevación de la SL. Es por este motivo que la condición de no deslizamiento es relajada en la línea de contacto, siendo remplazada, por ejemplo, por la denominada «condición de deslizamiento de Navier»[14]:

  
  en la cual vS es la velocidad del fluido en la línea de contacto, mientras que I−nn proyecta la componente de velocidades sobre el plano tangente y β es un coeficiente de deslizamiento de valor arbitrario. Los valores límite de β son β=0 para una condición de no deslizamiento, en tanto que β→∞ lleva a considerar un deslizamiento perfecto.

• •

  Fluidos de baja viscosidad: en problemas en los que intervienen líquidos de muy baja viscosidad cinemática, por ejemplo 1×10−6m2/s. En estos casos, puede emplearse la condición de deslizamiento perfecto vD·n=0[18,39,32], que requiere un esfuerzo computacional menor que las condiciones antes mencionadas.

• •

  Planos de simetría u otras fronteras artificiales: cuando el fluido no circula a través de los contornos, siendo estos ficticios; para estos casos, la condición de borde a aplicar es la de deslizamiento perfecto, esto es, vD·n=0.

Los desplazamientos de los nodos de la SL se proponen restringidos a una dirección dada por un versor sˆj, fija, de manera que la nueva posición del nodo j sobre la SL en el tiempo t es [4]:

Figura 1.

Desplazamiento de los nodos de la SL.

(0.02MB).

Es importante remarcar que las espinas se usan exclusivamente para los deplazamientos de la SL, y que en el interior del dominio las posiciones nodales son determinadas mediante alguno de los métodos presentados en la sección siguiente. De esta forma, la distorsión de la malla es reducida en comparación con casos en los cuales la totalidad de los nodos se mueven sobre direcciones fijas.

El movimiento de la SL está regido por la denominada condición cinemática. Esta condición contiene el significado físico de una interfase material, a través de la cual no hay intercambio de fluido [13,25,29,41], y puede expresarse como:

Teniendo en cuenta la ecuación (38) y que el campo escalar en 3 dimensiones es η=η(x1, x2, t), la SL puede expresarse de manera implícita como:

Figura 2.

Dominios y contornos para el problema de advección de la SL.

(0.05MB).

La formulación explícita del desplazamiento de la SL dada por la ecuación (45), al igual que la dada en la ecuación (40), resulta numéricamente inestable para ondas de superficie, dado su carácter advectivo [3]. En este sentido, la estabilización es necesaria en aquellos problemas en los cuales el término de transporte es dominante frente al término fuente s. Este hecho ya ha sido indicado por diversos autores, quienes apelaron a diferentes métodos de estabilización para obtener soluciones satisfactorias. Entre estos métodos se encuentran el de streamline upwind/Petrov-Galerkin (SUPG) [7] aplicado a la SL por Soulaïmani et al. [39] y Güler et al. [14], y el denominado Galerkin/Least-Squares (GLS), elegido por Behr y Abraham [5].

El método de estabilización SUPG, introducido por Brooks y Hughes [7], es empleado en este trabajo para la resolución del problema de advección de la ecuación (45) mediante Galerkin, como paso previo a la actualización de la malla, realizado sobre los resultados del NS.

La formulación variacional adoptada como guía es tomada de Donea y Huerta [10], y se basa en los espacios funcionales St:={η|η(·,t)∈H1(ΩSL′),t∈[0,T]|η=ηDsobreΓD′} y W:={w∈H1(ΩSL′)|w=0sobreΓD′}. El problema se propone de la siguiente forma: para cualquier tiempo t∈[0, T], hallarη∈Stal que

En la ecuación (50), los términos se identifican de la siguiente manera,

El problema discretizado toma finalmente la forma de: hallarηh∈Shtal que

El tiempo intrínseco τS es tomado como:

En un paradigma ALE, en el que el dominio sufre deformaciones al evolucionar el problema en el tiempo, es preciso contar con una metodología para actualizar el teselado, generalmente en todos los pasos de tiempo, siendo posible optar, entre otras, por alguna de las alternativas siguientes [5]:

• •

  Actualización algebraica: la discretización es modificada mediante expresiones algebraicas explícitas para el desplazamiento de los nodos interiores como función de los desplazamientos de la SL, conservando la definición topológica de los elementos, tal como en los métodos de spines[34] sobre mallas estructuradas.

• •

  Relocalización de nodos interiores: consiste en la reubicación de los nodos interiores del dominio manteniendo la topología, pero a través de procedimientos auxiliares tales como la resolución de un problema pseudoelástico [3,5,14,21,32] o la minimización de un indicador de la distorsión de los elementos [22].

• •

  Remallado: la malla es generada nuevamente cada vez que el dominio es deformado, lo cual exige la interpolación/extrapolación de los valores de los campos en los nodos.

La alternativa de relocalización de los nodos de la discretización es la adoptada en este trabajo, en la variante de resolución del problema pseudoelástico. El procedimiento consiste en calcular las nuevas posiciones de los nodos resolviendo un problema elástico artificial sobre el dominio inicial Ω0, en el cual las condiciones de contorno son siempre de tipo Dirichlet. Este problema pseudoelástico se formula como uno elástico convencional, esto es,

Las propiedades artificiales del material pueden expresarse en términos del coeficiente de Poisson ν˜ y del módulo de elasticidad longitudinal E˜, que son los parámetros tomados como referencia a la hora de ingresar los datos para un cálculo dado, aunque debido al tipo de condiciones de contorno, solo el primero de ellos tiene relevancia, recordando que el objetivo es calcular posiciones de nodos y no tensiones elásticas. Normalmente, se adopta ν˜=0,3 teniendo en cuenta que para ν˜→0,5, es decir, tendiendo a incompresibilidad, el problema numérico está mal condicionado.

Una vez que se ha determinado el campo de velocidades sobre la SL, los desplazamientos nodales sobre esta son calculados y pasan a ser datos para resolver el problema de actualización de la malla.

En lo relativo a condiciones de contorno, por ejemplo, en un tanque rectangular con una SL simple consisten en: (i) nodos con desplazamientos nulos en el fondo del tanque; (ii) nodos fijos en dirección horizontal pero libres de desplazarse verticalmente en las paredes laterales, y (iii) los desplazamientos de los nodos de la SL, determinados según lo indicado en la sección anterior. Obviamente, la selección de las condiciones de contorno debe ser acorde al problema considerado.

Esta alternativa de relocalización de nodos permite abordar problemas en los cuales las deformaciones son relativamente grandes, aunque puede proporcionar mallas distorsionadas de forma tal que los resultados numéricos se ven deteriorados y, eventualmente, puede llegar a fallar la actualización debido a la generación de elementos con jacobiano negativo o nulo.

El método propuesto es validado mediante un problema bidimensional de agitación de un fluido viscoso con solución analítica, empleado por Rabier y Medale [32] y Battaglia et al. [3]. Este test muestra cómo el esquema numérico propuesto predice, además de la frecuencia, la tasa de amortiguamiento dominada por la viscosidad del fluido.

El ejemplo consiste en resolver el problema de valores iniciales del movimiento de pequeña amplitud de la SL de un fluido viscoso en un tanque rectangular esquematizado en la figura 3 cuya SL tiene una posición inicial dada por

Figura 3.

Dimensiones en metros y posición inicial de la SL para el problema de agitación con solución analítica.

(0.03MB).

La solución analítica del caso linealizado está dada por Prosperetti [31] en la forma

El ejemplo fue resuelto para una amplitud inicial de la deformación a0=0, 01m, aceleración gravitatoria unitaria g=−1, 0m/s2 y una malla de 40×60 elementos cuadrangulares para un tanque representado en la figura 3 de h=1, 5m de altura y d=1, 0m de ancho, tal que k=2d, con un paso de tiempo Δt=2, 12×10−2s. Las propiedades físicas del fluido fueron adoptadas para un primer análisis de la resolución de este mismo ejemplo en la literatura [6,32,33], en el cual la viscosidad cinemática y la densidad son ν=10−3m2/s y ρ=1kg/m3, respectivamente.

La figura 4 muestra la curva de posición vertical del nodo superior izquierdo versus el tiempo superpuesta a la curva calculada analíticamente, donde se observa que tanto la frecuencia como el amortiguamiento viscoso del sistema son bien capturados por la solución numérica, siendo el error relativo menor al 3% en relación con la amplitud inicial a0. Las condiciones de contorno elegidas son de deslizamiento perfecto sobre los contornos ΓD, lo cual implica que la velocidad en dirección normal a estos y las tensiones tangenciales son nulas, tanto en los límites laterales como en el fondo del tanque. La condición de deslizamiento perfecto sobre las paredes responde a la hipótesis de dominio lateral e inferior infinitos para la solución analítica [31]. Sobre la SL, Patm=0 y las tensiones tangenciales son T·n=0.

Figura 4.

Curva de solución analítica y resultados numéricos para el problema de agitación con viscosidad cinemática ν=10−3m2/s.

(0.09MB).

Las velocidades que se registran sobre la SL son de muy baja intensidad y de dirección prácticamente vertical, por tanto no se producen inestabilidades numéricas debidas a efectos convectivos y no es necesario realizar una estabilización. Independientemente de ello, la inclusión de los términos correspondientes a la estabilización en la formulación de la ecuación (50) no influirían sensiblemente en los resultados, pues las velocidades v∥ son menores que las velocidades que intervienen en el término fuente s, en un factor del orden de 10−3.

A los fines de la comprobación del método, el problema fue resuelto con diferentes valores de viscosidad cinemática, manteniendo el resto de los parámetros sin cambios. Así, para ν=10−4m2/s se obtuvieron curvas con menor amortiguamiento que en el primer caso analizado y un error relativo de menos del 4% con respecto a a0, en tanto que en la resolución con ν=10−2m2/s, representada en la figura 5, el error relativo a la amplitud inicial a0 es del 2%.

Figura 5.

Curva de solución analítica y resultados numéricos para el problema de agitación con viscosidad cinemática ν=10−2m2/s.

(0.12MB).

La resolución numérica de este problema se realizó en un ordenador de escritorio con procesador Pentium IV y 2Gb de memoria RAM, totalizando 56 minutos de ejecución para 300 pasos de tiempo. Del tiempo total de ejecución, el 25% fue insumido por los pasos de actualización de la malla. En lo relativo a la convergencia del método, el módulo de NS requirió 3 iteraciones de Newton y el de MMV, de elasticidad lineal, 2 iteraciones, considerando en ambos casos una tolerancia absoluta de 1×10−8 para la norma del residuo.

Otro ejemplo consiste en resolver la agitación que se produce en un tanque cilíndrico de radio R=0, 50m y altura de líquido Hg=0,60m de eje inclinado en un ángulo γ=10o con respecto a la aceleración gravitatoria g, como puede apreciarse en la figura 6. El movimiento del fluido se genera a partir de liberar la SL desde una posición inicial diferente de la hidrostática.

Figura 6.

Geometría para el problema de agitación en un dominio cilíndrico de eje inclinado.

(0.03MB).

Con el objetivo de verificar la aptitud del método para resolver este tipo de problemas, se establece una comparación de resultados con la solución analítica no viscosa dada por Moiseev y Petrov [23]. Para ello, la posición inicial de la SL se propone proporcional a la deformada del primer modo de oscilación propio del sistema, cuyo autovalor adimensional es κsn≈1.746 para γ=10o, modo de orden n=1 y número de autovalor s=1. Dado el autovalor, la frecuencia de oscilación σ se calcula como:

La resolución numérica del ejemplo fue realizada sobre una malla de 28.800 elementos finitos hexahédricos y 31.000 nodos mostrada en la figura 7. La discretización fue propuesta tal que el eje del cilindro inclinado coincide con la dirección espacial x3, en tanto que la aceleración gravitatoria se impuso con componentes g1=gsin(γ), g2=0 y g3=gcos(γ) en las direcciones x1, x2 y x3, respectivamente. El fluido contenido en el recipiente es glicerina, cuyas propiedades físicas son: viscosidad cinemática ν=6, 5−4m2/s y densidad ρ=1.260kg/m3. El paso de tiempo adoptado para el análisis es Δt=0, 025s, hasta un tiempo final de 5s.

Figura 7.

Malla de elementos finitos para el problema del cilindro de eje inclinado.

(0.14MB).

Las condiciones de borde para el problema de NS sobre la SL vienen dadas por un valor de presión Patm=0 y tensiones tangenciales T·n=0. En la base y en el 70% inferior de las paredes del cilindro se propuso una condición de no deslizamiento v=0, mientras que en el 30% superior de la superficie cilíndrica se adoptó una condición de deslizamiento perfecto a los fines de disminuir los efectos de la viscosidad en las adyacencias de la SL, dado el carácter no viscoso de la solución de referencia. En lo que respecta al problema de movimiento de malla, en la base y en el 70% inferior de la superficie cilíndrica los nodos se encuentran impedidos de desplazarse en cualquier dirección, en tanto que el 30% superior del contorno cilíndrico puede desplazarse libremente sobre la superficie lateral. Para la SL, los desplazamientos nodales son determinados en función de las velocidades obtenidas en NS. La máxima amplitud inicial de la deformación de la SL por sobre el plano hidrostático se adoptó de valor a0=0, 012m, considerando al fluido en reposo al comienzo del análisis.

Una vez resuelto numéricamente el problema, se determinó el valor del período de oscilación calculado, en este caso en función de una pseudoamplitud, que consiste en la suma de los productos del desplazamiento por la posición x1 de cada nodo de la superficie libre, normalizado con el radio R, representada en la figura 8. El período de oscilación calculado con la pseudoamplitud fue de T=1.0768s, esto es, con un error relativo de 0,30% con respecto al período de oscilación para el problema no viscoso estimado mediante la ecuación (64).

Figura 8.

Pseudoamplitud de desplazamientos en el ejemplo del tanque cilíndrico de eje inclinado.

(0.11MB).

La figura 9 muestra los desplazamientos de los nodos extremos en dirección x1 sobre la SL, en la cual se indica con 1 el nodo en x1 positivo, es decir, donde la deformación de la SL es mayor medida en dirección x3, en tanto que 2 corresponde al nodo restante, de menor amplitud inicial. En dicha figura puede apreciarse la disminución progresiva de la amplitud de las deformaciones debida a los efectos viscosos, así como también la diferencia de amplitudes entre desplazamientos positivos y negativos debida a la acumulación de fluido que se produce cuando la interfase asciende sobre los laterales.

Figura 9.

Desplazamientos de los nodos extremos en x1 sobre la SL del tanque cilíndrico de eje inclinado.

(0.12MB).

El problema fue resuelto numéricamente en 10 nodos del cluster Aquiles [1], empleando para ello 64min para la resolución de 200 pasos de tiempo. La cantidad de iteraciones del lazo de Newton en cada paso de tiempo fue de 4, tanto para el problema de fluido como para el de actualización de la malla, con una tolerancia de 1×10−8. La proporción de tiempo empleada por el módulo de movimiento de malla fue del 30 al 35% del total de cada paso de tiempo.

La metodología descripta es aplicada a la agitación producida en un contenedor rectangular de W=0, 80m de ancho, con una altura de agua de D=0, 30m, como puede verse en la figura 10, y es modelado como un problema bidimensional. Las condiciones de contorno para el problema de NS en las paredes sólidas se propusieron como de deslizamiento perfecto debido a la baja viscosidad del fluido, ν=10−6m2/s, tal como en la bibliografía consultada [18,39,40]. La aceleración que actúa sobre el dominio es G=[g1;g2]T, de componente vertical de magnitud g2=−g=−9, 81m/s2, y componente horizontal dependiente del tiempo, propuesta de variación sinusoidal. El valor de densidad adoptado es de ρ=1.000kg/m3.

Figura 10.

Datos geométricos y condiciones de contorno para el tanque sometido a aceleraciones horizontales, tanto periódicas como de origen sísmico.

(0.04MB).

Este ejemplo fue tomado de Huerta y Liu [18], y es reproducido por Soulaïmani et al. [39], entre otros. Aunque la formulación considerada en el presente trabajo está enfocada a desplazamientos pequeños de la SL, este ejemplo permite mostrar la robustez del método al momento de resolver desplazamientos mayores y velocidades horizontales con intensidad mayor que las que se producen en los problemas antes presentados. La aceleración horizontal se propone como g1=Agsinωt, en la cual el coeficiente de amplitud es A=0, 01, t es el tiempo y ω la frecuencia circular. Esta frecuencia ha sido calculada de manera tal que excita el primer modo de agitación, teniendo en cuenta que la longitud de onda para este es λ=2W, por lo tanto,

La figura 11 muestra el desplazamiento del nodo superior izquierdo comparado con las envolventes de los resultados de la bibliografía [18,39], para el problema resuelto sobre una malla de 39 elementos en profundidad y 104 en ancho, con Δt=0,009s, haciendo uso de un esquema de integración temporal Crank-Nicolson, i.e. α=0, 5, a lo largo de 2.000 pasos de tiempo. Teniendo en cuenta que el tanque es excitado con la frecuencia asociada al primer modo de sloshing, se espera un incremento en la amplitud del movimiento hasta que o bien se equilibren la potencia aplicada y la disipación viscosa, o bien se produzca la rotura de la SL, invalidando el método.

Figura 11.

Desplazamiento vertical del nodo izquierdo sobre la SL, relativo a la profundidad del tanque con integración temporal tipo Crank-Nicolson.

(0.19MB).

En la figura 11 puede apreciarse que los desplazamientos en subida son mayores que las amplitudes en bajada, en coincidencia con resultados de modelos físicos [18]. Esto se debe a que el fluido en la zona de descenso muestra curvas más suaves que en ascenso, donde el líquido adquiere una forma empinada, como puede verse en la figura 12.

Figura 12.

Magnitud de las velocidades y deformación del dominio en el problema del tanque agitado horizontalmente en t=16, 11s.

(0.03MB).

Se efectuó un estudio de convergencia en malla del presente método numérico, para el cual se realizaron análisis con las diversas discretizaciones que se detallan en la tabla 1. Además, se calcularon y graficaron los valores de error absoluto E en función del tamaño de los elementos h, mostrados en la figura 13 y calculados para los primeros 4seg de la simulación. Se tomó como solución de referencia para la determinación del error el resultado del análisis obtenido con la malla indicada con 1 en la tabla 1, que corresponde al mayor grado de refinamiento. Aproximando los puntos por mínimos cuadrados se obtiene una tasa de convergencia aproximada E∝h1,67.

Figura 13.

Convergencia en malla para el problema del tanque sometido a agitación horizontal periódica, con escala logarítmica en abscisas y ordenadas. En los ejes derecho y superior se indican las magnitudes correspondientes de h y de E.

(0.1MB).

La resolución numérica sobre la malla más refinada, de 208×78 elementos y para 900 pasos de tiempo se realizó en 6hs:25min en un ordenador de escritorio con procesador Pentium IV y 2Gb de memoria RAM, en tanto que en el mismo equipo se requirieron 2hs:31min para resolver 500 pasos de tiempo en la malla de 104×39 elementos. Las características de convergencia para las dos instancias de ejecución, NS y MMV, coinciden con el ejemplo de agitación de pequeña amplitud en el dominio bidimensional antes presentado.

El ejemplo consiste en resolver un problema sobre la misma geometría del ejemplo de aceleración horizontal periódica, figura 10, imponiendo las aceleraciones horizontales registradas durante un sismo. Tanto la discretización espacial como los parámetros del fluido son los mismos que en el ejemplo anterior, esto es, 104×39 elementos en ancho y en profundidad, respectivamente, viscosidad cinemática ν=10−6m2/s y densidad ρ=1.000kg/m3. El paso de tiempo adoptado coincide con la frecuencia de registro de aceleraciones, es decir Δt=0, 005s.

El acelerograma empleado corresponde al terremoto del día 3 de marzo de 1985 en Valparaíso (Chile), a las 19:47 hora local, medido en la estación La Ligua [8]. Se trata de un movimiento sísmico de algo más de 48s de duración con registros cada 0, 005s y amplitudes de aceleración horizontal mostradas en la figura 14 (arriba). En dicha figura se aprecia además la respuesta en desplazamientos relativos a la altura de agua D=0, 30m de los nodos superior izquierdo, figura 14 (centro), y superior derecho, figura 14 (abajo), mostrando amplitudes relativas menores que las del caso anterior, lo cual se debe a que las frecuencias predominantes en el acelerograma no son cercanas a modos propios de baja frecuencia del recipiente.

Figura 14.

Acelerograma (arriba) y desplazamiento relativo de los nodos extremos del tanque sometido a aceleraciones sísmicas (centro y abajo).

(0.41MB).

El problema insumió 20hs:20min de tiempo para la ejecución de 9.740 pasos del registro de aceleraciones horizontales del movimiento sísmico, empleando para ello un nodo del cluster Aquiles [1]. Al igual que en el ejemplo anterior, las características de la convergencia tanto del NS como del MMV coinciden con el caso de agitación de pequeña amplitud en un dominio bidimensional.