La Serie de Fourier: estimación de observaciones económicas inexistentes
Aarón Misael Percastre Gómez
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Así, para empezar a indagar en el tema, es necesario conocer ciertos conceptos básicos sobre la Serie de Fourier. La familiarización de entrada con dicho tema, nos ayuda a comprender, de una forma simple, las explicaciones de los componentes de la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> sabiendo la función de cada uno.</p><p id="par0010" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En el primer inciso empezaremos por explicar conceptos básicos sobre la Serie de Fourier. En el segundo punto explicaremos sus componentes y que nos indica cada uno con el fin de realizar una pequeña aplicación en la economía, en el tercer punto. Y por último daremos algunas conclusiones sobre el tema.</p><span id="sec0005" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0005">¿Qué es la Serie de Fourier?</span><p id="par0015" class="elsevierStylePara elsevierViewall">La Serie de Fourier es una herramienta matemática que nos permite obtener información de una función determinada mediante una transformación (donde entenderemos por “transformación” al proceso que reduce la complejidad de una ecuación). Por lo tanto, cuando se hace referencia a la Serie de Fourier (<span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span>), realmente hablamos de la transformación que nos permite extraer información sobre la frecuencia de un ciclo –puede ser cualquier función– cuando conocemos sólo una parte de su comportamiento.</p><p id="par0020" class="elsevierStylePara elsevierViewall">La idea intrínseca de la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> nos indica que cualquier función, generalmente periódica, se puede aproximar por medio de funciones simples sinusoidales<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0005"><span class="elsevierStyleSup">1</span></a>. De forma que cuanto más coincide una onda simple con el dato observado, más peso tiene en la determinación de la función original. (Con este procedimiento es posible representar funciones deterministas o de índole aleatoria.)</p><p id="par0025" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Con la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> se adquiere un cambio en el dominio de la función; al pasar de la información contenida en una señal, al dominio en el tiempo, para transitar al de la frecuencia y viceversa, de suerte tal que se mejora el análisis de la señal (<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#bib0005">Carrillo, 2003</a>). Así que las <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> son útiles en el estudio de funciones periódicas, aunque, desafortunadamente, no aparecen con la misma frecuencia en la vida real como las no periódicas.</p><p id="par0030" class="elsevierStylePara elsevierViewall">No obstante, antes de continuar con el tema debemos mencionar, al menos, la versión más intuitiva de una función periódica<a class="elsevierStyleCrossRef" href="#fn0010"><span class="elsevierStyleSup">2</span></a>. Formalmente, una función periódica cumple <span class="elsevierStyleItalic">f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">t</span>) = <span class="elsevierStyleItalic">f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">t</span>+<span class="elsevierStyleItalic">T</span>) para toda <span class="elsevierStyleItalic">t</span>, donde <span class="elsevierStyleItalic">T</span> es la constante mínima que satisface la igualdad y se denomina periodo. Asimismo, definimos a la frecuencia <span class="elsevierStyleItalic">fr</span>=<span class="elsevierStyleItalic">T</span><span class="elsevierStyleSup"><span class="elsevierStyleItalic">-1</span></span>(inversa de <span class="elsevierStyleItalic">T</span>) y llamamos “ciclo” a la parte de la función que abarca un tiempo equivalente a un periodo <span class="elsevierStyleItalic">T</span> (usualmente 2<span class="elsevierStyleItalic">π</span>).</p><p id="par0035" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Dicho lo anterior, buscamos aproximar una función <span class="elsevierStyleItalic">f</span> de periodo 2<span class="elsevierStyleItalic">π</span> y <span class="elsevierStyleItalic">N</span> observaciones (<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span> ,<span class="elsevierStyleItalic">f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>)) con xn=2πNn,∀n=1,...,N−1 sub intervalos equi-distribuidos en [0,2π] por medio de un polinomio <span class="elsevierStyleItalic">r</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>) compuesto de funciones trigonométricas, de tal manera que el punto observado <span class="elsevierStyleItalic">f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>) sea el mismo en el polinomio, i.e., <span class="elsevierStyleItalic">f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>)=<span class="elsevierStyleItalic">r</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>). Iniciaremos por definir qué es un polinomio trigonométrico:</p><p id="par0040" class="elsevierStylePara elsevierViewall"><span class="elsevierStyleItalic">Definición</span>: Un polinomio trigonométrico de grado, a lo más, <span class="elsevierStyleItalic">n</span> es cualquier función de la forma<elsevierMultimedia ident="eq0005"></elsevierMultimedia></p><p id="par0045" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Donde <span class="elsevierStyleItalic">r</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>) es una función periódica de periodo 2π, ie,<span class="elsevierStyleItalic">r</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)<span class="elsevierStyleItalic">=r</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x+2π</span>) para toda x∈R con coeficientes<elsevierMultimedia ident="eq0010"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0015"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0020"></elsevierMultimedia></p><p id="par0050" class="elsevierStylePara elsevierViewall">De (1) haremos las siguientes observaciones:<span class="elsevierStyleItalic">e</span><span class="elsevierStyleSup"><span class="elsevierStyleItalic">ix</span></span>=<span class="elsevierStyleItalic">cos</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)<span class="elsevierStyleItalic">+isen</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>) y por Moivre se tiene <span class="elsevierStyleItalic">e</span><span class="elsevierStyleSup"><span class="elsevierStyleItalic">i(kx)</span></span>=<span class="elsevierStyleItalic">cos</span>(<span class="elsevierStyleItalic">kx</span>)<span class="elsevierStyleItalic">+isen</span>(<span class="elsevierStyleItalic">kx</span>), donde recordemos que para todo <span class="elsevierStyleItalic">c</span>∈C <span class="elsevierStyleItalic">c=a+ibt</span> para todo <span class="elsevierStyleItalic">a,b</span>∈R y si adicionalmente en (1) iniciamos la suma desde,entonces podemos reescribir a (1) como:<elsevierMultimedia ident="eq0025"></elsevierMultimedia></p><p id="par0055" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Con coeficientes<elsevierMultimedia ident="eq0030"></elsevierMultimedia></p><p id="par0060" class="elsevierStylePara elsevierViewall">No debemos olvidar que <span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>) está compuesto por coeficientes complejos, por lo que <span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)=<span class="elsevierStyleItalic">Re</span>(<span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>))+<span class="elsevierStyleItalic">Im</span>(<span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)) , además <span class="elsevierStyleSup"><span class="elsevierStyleItalic">r</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)=<span class="elsevierStyleItalic">Re</span>(<span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>))</span> y por construcción tenemos la peculiaridad de <span class="elsevierStyleItalic">f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>)<span class="elsevierStyleItalic">=r</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>)<span class="elsevierStyleItalic">=r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>)∀<span class="elsevierStyleItalic">.n=1,...,N-1</span></p></span><span id="sec0010" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0010">II. ¿Cómo se utiliza la Serie de Fourier?</span><p id="par0065" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Antes de intentar utilizar la <span class="elsevierStyleSmallCaps">tf</span>, debemos conocer cada uno de los términos que la comprenden. Por consiguiente, empezaremos por decir que <span class="elsevierStyleItalic">N</span> es el número de muestras observadas, <span class="elsevierStyleItalic">n</span> indica la frecuencia que se quiere analizar y <span class="elsevierStyleItalic">f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>) se refiere a la muestra tomada en el instante <span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>. Así, si desarrollamos la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> será más visible:<elsevierMultimedia ident="eq0035"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0040"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0045"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0050"></elsevierMultimedia></p><p id="par0070" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El desarrollo anterior nos muestra cómo <span class="elsevierStyleItalic">f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">0</span></span>)<span class="elsevierStyleItalic">,f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">1</span></span>)<span class="elsevierStyleItalic">,...,f</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">n</span></span>) son las observaciones que deseamos analizar dentro de la suma, para una <span class="elsevierStyleItalic">K</span> y <span class="elsevierStyleItalic">N</span> fijas. Donde queda de manifiesto que <span class="elsevierStyleItalic">n</span> indica la frecuencia de estudio.</p><p id="par0075" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Para se <span class="elsevierStyleItalic">k=0</span> vuelve evidente que el término <span class="elsevierStyleItalic">c</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">0=</span></span><span class="elsevierStyleItalic">a</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">0</span></span>, es decir que la constante del polinomio exponencial es igual a la constante del polinomio trigonométrico, además <span class="elsevierStyleItalic">c</span><span class="elsevierStyleInf"><span class="elsevierStyleItalic">0</span></span> se obtiene al hacer la media aritmética de los valores observados indicando así que es el término constante.</p><p id="par0080" class="elsevierStylePara elsevierViewall">No es necesario trabajar con toda la muestra de datos observados; basta con tomar 0≤k≤N2 o bien N2≤k≤N−1 pues el valor de <span class="elsevierStyleItalic">k=0</span> coincide con:<elsevierMultimedia ident="eq0055"></elsevierMultimedia></p><p id="par0085" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Por último, nos falta conocer el papel que tiene la expresión re−i2πnN donde <span class="elsevierStyleItalic">r</span> es el modulo del numero complejo y −i2πnN es su argumento. Además re−i2πnN=rcosi2πnN−iseni2πnN y el término <span class="elsevierStyleItalic">n</span> nos indica que el número complejo va a estar girando en el círculo unitario (recorrido de cada muestra) con velocidad angular 2π y saltos con razón nN medido en radianes.</p><p id="par0090" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Por ende, el resultado de ésta expresión, representa la similitud de la observación analizada con el seno y coseno de la frecuencia dependiente de <span class="elsevierStyleItalic">n</span>, en donde la parte real representa la semejanza entre las señales.</p></span><span id="sec0015" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0015">III. Una sencilla aplicación en economía</span><p id="par0095" class="elsevierStylePara elsevierViewall">La economía es una ciencia que utiliza una gran variedad y cantidad de datos, especialmente en la rama de la econometría para aceptar o refutar hipótesis sobre parámetros que nos permiten entender y/o modelar los fenómenos económicos, entre otras razones. No obstante, en muchas ocasiones, las estadísticas con las que se cuenta están incompletas al faltar observaciones; esto principalmente cuando nos vemos en la necesidad de construir nuestra propia base de datos. Ergo, es necesario hacer una aproximación de los datos.</p><p id="par0100" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En ese sentido, la Serie de Fourier representa una herramienta útil, pues recupera la información de las observaciones construyendo una función que pasa por datos observados y se aproxima a los datos omitidos. Si bien es cierto que la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span>, en principio, fue pensada para funciones periódicas, se puede extender este concepto a toda función; si pensamos en las funciones no-periódicas como funciones periódicas de periodo infinito.</p><p id="par0105" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Supongamos que tenemos las siguientes observaciones que representan los datos observados de la tasa de interés mensual del Banco del Centro y queremos conocer su comportamiento no sólo de forma mensual (<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf">0</span>,4.25),(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf">1</span>,2.66),(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf">2</span>,2.6),(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf">3</span>,0), (<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf">4</span>,2.63),(<span class="elsevierStyleItalic">x</span><span class="elsevierStyleInf">5</span>,4.5)</p><p id="par0110" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Entonces, calculamos la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span><elsevierMultimedia ident="eq0060"></elsevierMultimedia><elsevierMultimedia ident="eq0065"></elsevierMultimedia></p><p id="par0115" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Por tanto, sustituyendo los coeficientes en (2) tenemos<elsevierMultimedia ident="eq0070"></elsevierMultimedia></p><p id="par0120" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Recordemos que el polinomio exponencial tiene la siguiente representación <span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)=<span class="elsevierStyleItalic">Re</span>(<span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>))+<span class="elsevierStyleItalic">Im</span>(<span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)) de donde se puede comprobar de manera fácil (en el ejemplo) que el desarrollo del polinomio trigonométrico tiene <span class="elsevierStyleItalic">r</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)=<span class="elsevierStyleItalic">Re</span>(<span class="elsevierStyleItalic">r’</span>(<span class="elsevierStyleItalic">x</span>)) que corresponde a la serie de Fourier que más se aproxima a los datos observados. También queda de manifiesto que c0=a02=2.77 es la media aritmética de los datos</p><p id="par0125" class="elsevierStylePara elsevierViewall">El análisis pertinente, en sentido económico, se da en el sentido de que al contar con un numero de observaciones finito (en el ejemplo tuvimos 6 observaciones mensuales) se puede recrear el comportamiento de los datos a lo largo del tiempo y de esta manera obtener observaciones quincenales, semanales o diarias (de acuerdo a nuestras necesidades)</p></span><span id="sec0020" class="elsevierStyleSection elsevierViewall"><span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0020">Conclusiones</span><p id="par0130" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Por una parte, la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> es un método más completo y más real que otras aproximaciones obtenidas por métodos como mínimos cuadrados ordinarios (<span class="elsevierStyleSmallCaps">mco</span>), promedios, entre otros; pues como comentamos a lo largo del trabajo, ésta incorpora el comportamiento de las observaciones, permitiéndonos observar tendencias y ciclos de los datos. Empero, ese tema sobrepasa por mucho los alcances de este artículo, por lo que se dejará para otro tema de investigación.</p><p id="par0135" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Por otra parte, la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> nos ayuda a conocer el comportamiento de nuestros datos, por medio de una aproximación trigonométrica, pero hay que mencionar que a una mayor cantidad de datos observados mejor es la estimación realizada. En otras palabras, si el número de datos tiende a infinito, entonces nuestro error tiende a cero, lo cual podría ser un inconveniente a pesar de que el polinomio obtenido pasa por los datos observados.</p><p id="par0140" class="elsevierStylePara elsevierViewall">En adición, la aproximación realizada por medio de Fourier es un método completamente determinístico, ausente de perturbaciones aleatorias. Puesto que con el conjunto de datos establecido, siempre obtendremos la misma reproducción a menos que implementemos una variación al agregar o quitar datos de la muestra. Existen modelos (<span class="elsevierStyleItalic">AR</span>(<span class="elsevierStyleItalic">p</span>)<span class="elsevierStyleItalic">,MA</span>(<span class="elsevierStyleItalic">q</span>)<span class="elsevierStyleItalic">,ARMA</span>(<span class="elsevierStyleItalic">p,q</span>)<span class="elsevierStyleItalic">,SARIMA</span>(<span class="elsevierStyleItalic">,p,q</span>)<span class="elsevierStyleItalic">,ARCH</span>(<span class="elsevierStyleItalic">p</span>)<span class="elsevierStyleItalic">,GARCH</span>(<span class="elsevierStyleItalic">p,q</span>)) mucho más completos que toman en cuenta estas perturbaciones; además de incorporar tendencias, ciclos, estacionalidad etc.; y que utiliza la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> para estimar sus densidades espectrales para obtener funciones de covarianza, así como la autocorrelación de los mismos.</p><p id="par0145" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Otro inconveniente a tomar en cuenta, es el costo en tiempo de la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span>, pues consta de la realización de vario cálculos y pasos (primeramente para obtener los coeficientes de la <span class="elsevierStyleSmallCaps">sf</span> y posteriormente a la hora de obtener el polinomio). Afortunadamente, existe una versión más eficiente en tiempo (Transformada Rápida de Fourier) con costo comparativo en tiempo más bajo a la hora de realizar los cálculos. Pero será analizado posteriormente.</p><p id="par0150" class="elsevierStylePara elsevierViewall">Es importante mencionar el hecho de que toda función <span class="elsevierStyleItalic">f</span> puede ser vista como una función periódica implementando el concepto de “periodo de tiempo infinito”, el cual tiene mucho sentido al recordar que un intervalo de longitud positiva es cardinalmente comparable con R. De esta manera, no importa la cantidad de observaciones con las que contamos (inclusive si son infinitas), pues a todas se les puede incorporar en distancias de la misma longitud dentro de nuestro intervalo de análisis</p></span></span>" "textoCompletoSecciones" => array:1 [ "secciones" => array:6 [ 0 => array:2 [ "identificador" => "sec0005" "titulo" => "¿Qué es la Serie de Fourier?" ] 1 => array:2 [ "identificador" => "sec0010" "titulo" => "II. ¿Cómo se utiliza la Serie de Fourier?" ] 2 => array:2 [ "identificador" => "sec0015" "titulo" => "III. Una sencilla aplicación en economía" ] 3 => array:2 [ "identificador" => "sec0020" "titulo" => "Conclusiones" ] 4 => array:1 [ "titulo" => "<span class="elsevierStyleSectionTitle" id="sect0030">Bibliografía recomendada</span>" ] 5 => array:1 [ "titulo" => "Bibliografia" ] ] ] "pdfFichero" => "main.pdf" "tienePdf" => true "NotaPie" => array:2 [ 0 => array:3 [ "etiqueta" => "1" "nota" => "<p class="elsevierStyleNotepara" id="npar0005">En este caso nos referimos a senos y cosenos.</p>" "identificador" => "fn0005" ] 1 => array:3 [ "etiqueta" => "2" "nota" => "<p class="elsevierStyleNotepara" id="npar0010">El análisis de forma Fourier se puede aplicar a diversos tipos de variables.</p>" "identificador" => "fn0010" ] ] "multimedia" => array:14 [ 0 => array:6 [ "identificador" => "eq0005" "etiqueta" => "(1)" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx1.jpeg" "Tamanyo" => 32867 "Alto" => 148 "Ancho" => 1114 ] ] ] ] 1 => array:6 [ "identificador" => "eq0010" "etiqueta" => "(1.1)" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx2.jpeg" "Tamanyo" => 27523 "Alto" => 128 "Ancho" => 493 ] ] ] ] 2 => array:6 [ "identificador" => "eq0015" "etiqueta" => "(1.2)" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx3.jpeg" "Tamanyo" => 37381 "Alto" => 149 "Ancho" => 1249 ] ] ] ] 3 => array:6 [ "identificador" => "eq0020" "etiqueta" => "(1.3)" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx4.jpeg" "Tamanyo" => 32330 "Alto" => 156 "Ancho" => 1297 ] ] ] ] 4 => array:6 [ "identificador" => "eq0025" "etiqueta" => "(2)" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx5.jpeg" "Tamanyo" => 37986 "Alto" => 207 "Ancho" => 1605 ] ] ] ] 5 => array:6 [ "identificador" => "eq0030" "etiqueta" => "(2.1)" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx6.jpeg" "Tamanyo" => 31512 "Alto" => 116 "Ancho" => 949 ] ] ] ] 6 => array:5 [ "identificador" => "eq0035" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx7.jpeg" "Tamanyo" => 45959 "Alto" => 201 "Ancho" => 1408 ] ] ] ] 7 => array:5 [ "identificador" => "eq0040" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx8.jpeg" "Tamanyo" => 39850 "Alto" => 233 "Ancho" => 1119 ] ] ] ] 8 => array:5 [ "identificador" => "eq0045" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx9.jpeg" "Tamanyo" => 36158 "Alto" => 252 "Ancho" => 1175 ] ] ] ] 9 => array:5 [ "identificador" => "eq0050" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx10.jpeg" "Tamanyo" => 38217 "Alto" => 246 "Ancho" => 1434 ] ] ] ] 10 => array:5 [ "identificador" => "eq0055" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx11.jpeg" "Tamanyo" => 50075 "Alto" => 288 "Ancho" => 1764 ] ] ] ] 11 => array:5 [ "identificador" => "eq0060" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx12.jpeg" "Tamanyo" => 196432 "Alto" => 1255 "Ancho" => 2528 ] ] ] ] 12 => array:5 [ "identificador" => "eq0065" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx13.jpeg" "Tamanyo" => 74035 "Alto" => 624 "Ancho" => 1583 ] ] ] ] 13 => array:5 [ "identificador" => "eq0070" "tipo" => "MULTIMEDIAFORMULA" "mostrarFloat" => false "mostrarDisplay" => true "Formula" => array:1 [ "imagen" => array:1 [ 0 => array:4 [ "Fichero" => "fx14.jpeg" "Tamanyo" => 115726 "Alto" => 561 "Ancho" => 2530 ] ] ] ] ] "bibliografia" => array:2 [ "titulo" => "Bibliografia" "seccion" => array:1 [ 0 => array:2 [ "identificador" => "bibs0005" "bibliografiaReferencia" => array:1 [ 0 => array:3 [ "identificador" => "bib0005" "etiqueta" => "Carillo, 2003" "referencia" => array:1 [ 0 => array:1 [ "referenciaCompleta" => "Carillo C. 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| año/Mes | Html | Total | |
|---|---|---|---|
| 2024 Octubre | 3339 | 25 | 3364 |
| 2024 Septiembre | 5052 | 37 | 5089 |
| 2024 Agosto | 3183 | 19 | 3202 |
| 2024 Julio | 3168 | 32 | 3200 |
| 2024 Junio | 4043 | 27 | 4070 |
| 2024 Mayo | 5211 | 43 | 5254 |
| 2024 Abril | 3742 | 37 | 3779 |
| 2024 Marzo | 2919 | 20 | 2939 |
| 2024 Febrero | 2913 | 33 | 2946 |
| 2024 Enero | 2399 | 32 | 2431 |
| 2023 Diciembre | 4003 | 51 | 4054 |
| 2023 Noviembre | 4481 | 76 | 4557 |
| 2023 Octubre | 3060 | 39 | 3099 |
| 2023 Septiembre | 3620 | 44 | 3664 |
| 2023 Agosto | 2543 | 33 | 2576 |
| 2023 Julio | 2800 | 30 | 2830 |
| 2023 Junio | 4516 | 52 | 4568 |
| 2023 Mayo | 5770 | 65 | 5835 |
| 2023 Abril | 2773 | 119 | 2892 |
| 2023 Marzo | 4346 | 65 | 4411 |
| 2023 Febrero | 3734 | 67 | 3801 |
| 2023 Enero | 1840 | 38 | 1878 |
| 2022 Diciembre | 4397 | 87 | 4484 |
| 2022 Noviembre | 5914 | 99 | 6013 |
| 2022 Octubre | 3939 | 112 | 4051 |
| 2022 Septiembre | 4602 | 70 | 4672 |
| 2022 Agosto | 3353 | 89 | 3442 |
| 2022 Julio | 3141 | 99 | 3240 |
| 2022 Junio | 5124 | 59 | 5183 |
| 2022 Mayo | 5466 | 97 | 5563 |
| 2022 Abril | 3204 | 99 | 3303 |
| 2022 Marzo | 3517 | 63 | 3580 |
| 2022 Febrero | 3117 | 91 | 3208 |
| 2022 Enero | 1761 | 64 | 1825 |
| 2021 Diciembre | 5178 | 119 | 5297 |
| 2021 Noviembre | 4278 | 107 | 4385 |
| 2021 Octubre | 3253 | 95 | 3348 |
| 2021 Septiembre | 3278 | 84 | 3362 |
| 2021 Agosto | 2122 | 68 | 2190 |
| 2021 Julio | 2520 | 83 | 2603 |
| 2021 Junio | 4532 | 60 | 4592 |
| 2021 Mayo | 2713 | 50 | 2763 |
| 2021 Abril | 2980 | 50 | 3030 |
| 2021 Marzo | 2522 | 37 | 2559 |
| 2021 Febrero | 1139 | 24 | 1163 |
| 2021 Enero | 1408 | 26 | 1434 |
| 2020 Diciembre | 1680 | 68 | 1748 |
| 2020 Noviembre | 1552 | 35 | 1587 |
| 2020 Octubre | 804 | 18 | 822 |
| 2020 Septiembre | 508 | 8 | 516 |
| 2020 Agosto | 548 | 31 | 579 |
| 2020 Julio | 385 | 31 | 416 |
| 2020 Junio | 426 | 21 | 447 |
| 2020 Mayo | 544 | 11 | 555 |
| 2020 Abril | 350 | 13 | 363 |
| 2020 Marzo | 287 | 19 | 306 |
| 2020 Febrero | 246 | 23 | 269 |
| 2020 Enero | 133 | 8 | 141 |
| 2019 Diciembre | 220 | 15 | 235 |
| 2019 Noviembre | 244 | 17 | 261 |
| 2019 Octubre | 204 | 15 | 219 |
| 2019 Septiembre | 205 | 18 | 223 |
| 2019 Agosto | 142 | 15 | 157 |
| 2019 Julio | 227 | 17 | 244 |
| 2019 Junio | 379 | 40 | 419 |
| 2019 Mayo | 351 | 65 | 416 |
| 2019 Abril | 214 | 55 | 269 |
| 2019 Marzo | 155 | 19 | 174 |
| 2019 Febrero | 176 | 9 | 185 |
| 2019 Enero | 90 | 15 | 105 |
| 2018 Diciembre | 233 | 14 | 247 |
| 2018 Noviembre | 315 | 23 | 338 |
| 2018 Octubre | 195 | 13 | 208 |
| 2018 Septiembre | 94 | 13 | 107 |
| 2018 Agosto | 99 | 5 | 104 |
| 2018 Julio | 122 | 5 | 127 |
| 2018 Junio | 114 | 4 | 118 |
| 2018 Mayo | 123 | 7 | 130 |
| 2018 Abril | 125 | 3 | 128 |
| 2018 Marzo | 56 | 3 | 59 |
| 2018 Febrero | 73 | 1 | 74 |
| 2018 Enero | 20 | 2 | 22 |
| 2017 Diciembre | 35 | 0 | 35 |
| 2017 Noviembre | 94 | 2 | 96 |
| 2017 Octubre | 55 | 6 | 61 |
| 2017 Septiembre | 41 | 5 | 46 |
| 2017 Agosto | 66 | 0 | 66 |
| 2017 Julio | 68 | 3 | 71 |
| 2017 Junio | 88 | 8 | 96 |
| 2017 Mayo | 85 | 3 | 88 |
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| 2017 Marzo | 60 | 16 | 76 |
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| 2017 Enero | 37 | 3 | 40 |
| 2016 Diciembre | 63 | 2 | 65 |
| 2016 Noviembre | 74 | 5 | 79 |
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| 2016 Septiembre | 15 | 2 | 17 |
| 2016 Agosto | 9 | 7 | 16 |
| 2016 Julio | 8 | 1 | 9 |
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