Se desarrollan modelos matemáticos que predigan los puntos de equilibrio de humedad de los materiales higroscópicos que habitualmente se transportan, y la explicación de la obtención de los métodos de cálculo de los parámetros mediante regresión lineal de los mínimos cuadrados nos dará una comprensión complementaria.
Mathematical models development to predict moisture equilibrium points in hygroscopic materials usually logistically transported. Parameters are calculated through least squares method.
Las astillas son un material higroscópico, lo cual indica que el agua que contiene es constante si se encuentra en equilibrio con el agua en estado de vapor del aire de la atmósfera que la rodea (Prieto GarcÃa, 2006, Gordillo MartÃnez, Prieto Méndez, Gómez Aldapa y Román Gutérrez, 2006), de modo que las condiciones de los habitáculos o contenedores donde se transporten son determinantes para conservar su buen estado y sus propiedades.
El método de los mÃnimos cuadrados permite, mediante los pares compuestos por los resultados de la humedad generada por las sales y la humedad adsorbida por la biomasa, calcular los parámetros caracterÃsticos de los modelos de Henderson y Chung-Pfost utilizados para predicción de estados en el transporte de esta.
Tanto las astillas como otras biomasas derivadas de la madera, como los pellets, son materiales que poseen la caracterÃstica de adaptarse a la humedad del ambiente en que se encuentren; asÃ, el contenido de humedad se adapta hasta alcanzar el equilibrio (Henderson, 1952). Las curvas de adsorción describen el cambio que sufren las biomasas al verse expuestas a condiciones higrotérmicas determinadas, de aumento progresivo hasta llegar a la humedad de equilibrio; la relación entre el contenido de humedad y la actividad del agua da la información necesaria para modelizar los materiales evaluados (GarcÃa-Pérez, 2008, Cárcel, Clemente y Mulet, 2008).
Las astillas de pino resultan de introducir la madera directamente en una astilladora, la forma básica de producción de biomasa en madera, mientras que el proceso de obtención de los pellets requiere el prensado de la madera; la lignina realiza la función de aglomerante, con lo que aumenta la densidad de la madera, que no tiene que ser necesariamente de la tala de árboles, si no que se puede recuperar de carpinterÃas y podas.
En la madera del pino, las hemicelulosas que forman parte de la matriz junto con la lignina, donde reside la celulosa, son un 35% y donde se almacena el agua cuando se absorbe; la hemicelulosa y la lignina representan cada una un 24% de la madera.
Procedimientos experimentalesDos baños termostáticos (a 15 y 35°C) sobre diez recipientes con diferentes humedades relativas proporcionan los datos necesarios para la regresión lineal por mÃnimos cuadrados.
Los datos serán la humedad relativa generada en cada recipiente y la cantidad de agua absorbida por las astillas, según el método gravimétrico estático de las sales ácidas (GarcÃa Esteban, 2004, Guindeo Casasús, de Palacios y GarcÃa Fernández, 2004).
Modelos matemáticosLa formación de pares entre la predicción y el estado de saturación del agua para cada sal es caracterÃstico de cada modelo y dan lugar a las rectas de ajuste.
En este caso se ha elegido los modelos de Henderson y Chung-Pfost, aprobados por la Sociedad Americana de Ingenieros AgrÃcolas para el maÃz y el arroz paddy, y los más comunes por su generalidad y relativa precisión (Muñoz et al., 1991), además de ser los únicos que tienen como variable la temperatura, dicho modelos son los únicos que consideran la temperatura en el análisis de isotermas de adsorción (GarcÃa Fernández, 2013, Simón GarcÃa, Esteban, de Palacios, Fernández-GolfÃn y Conde, 2013).
A partir de los modelos, se obtienen las respectivas ecuaciones linealizadas.
Ecuación de Henderson modificadaFórmula 1, ecuación de Henderson modificada:
Xeq: contenido de humedad en equilibrio, %. aw: actividad del agua en el elemento. T: temperatura (°C). C1: constante de Henderson. C2: constante de Henderson. (Handbook of Industrial Drying, 2006.)
Fórmula 2, ecuación de Henderson linealizada:
Ecuación de Chung-Pfost modificada
Fórmula 3, ecuación de Chung-Pfost modificada:
Xeq: contenido de humedad en equilibrio %. aw: actividad del agua en el elemento. T: temperatura (°C). E: constante de Chung-Pfost. F: constante de Chung-Pfost. (Handbook of Industrial Drying, 2006.)
Fórmula 4, ecuación de Chung-Pfost linealizada:
Parámetros de ajuste de mÃnimos cuadrados
Fórmula 5, ecuación de ajuste mÃnimos cuadrados:
Ecuación de Chung-Pfost modificada
Fórmula 6, ecuación de ajuste mÃnimos cuadrados (método regresivo lineal, cálculo estadÃstico).
ObjetivosExplicar cómo, a partir de un procedimiento experimental de equilibrios de adsorción de humedad, podemos realizar un comportamiento predictivo de unas muestras de astillas de pino canario mediante los modelos matemáticos de Henderson y Chung-Pfost, desarrollando detalladamente la utilización de la técnica de análisis numérico de los mÃnimos cuadrados.
MetodologÃaSe ha utilizado un procedimiento de análisis gravimétrico para evaluar los porcentajes de humedad adsorbidos por las muestras, las cuales fueron previamente expuestas a diez sales ácidas (Li CL, CH3COOK, MgCl2, K2CO3, Mg (NO3)2, Sr Cl2, Na Cl, K Cl, Ba Cl, K2S O4) en recipientes cerrados hasta alcanzar su equilibrio, a las temperaturas de 15 y 35°C. Cada sal genera una humedad relativa caracterÃstica en el interior de los recipientes (tablas 1 y 2).
Determinación de pares de datos, a partir de resultaros empÃricos, para el cálculo de parámetros por el método de mÃnimos cuadrados
| Chung-Pfost | aw | Ln X | Ln [— (T + C) Ln (aw)] |
|---|---|---|---|
| Â | 11.19%Â | .Ln (15.90%)Â | 4.79Â |
|  | 23.40% | —Ln (15.09%) | 4.38 |
|  | 33.30% | —Ln (12.30%) | 4.10 |
| Â | 43.15%Â | .Ln (11.10%)Â | 3.83Â |
|  | 55.87% | —Ln (10.30%) | 3.47 |
|  | 74.13% | —Ln (8.88%) | 2.80 |
| Â | 75.53%Â | .Ln (8.43%)Â | 2.74Â |
|  | 82.79% | —Ln (7.70%) | 2.34 |
|  | 91.07% | —Ln (6.30%) | 1.64 |
| Â | 97.89%Â | .Ln (4.67%)Â | 0.16Â |
| Â | 11.17%Â | .Ln (16.34%)Â | 4.79Â |
|  | 21.37% | —Ln (15.87%) | 4.44 |
|  | 32.00% | —Ln (14.04%) | 4.14 |
| Â | 42.55%Â | .Ln (11.90%)Â | 3.85Â |
| Â | 49.72%Â | .Ln (10.70%)Â | 3.65Â |
|  | 66.08% | —Ln (10.20%) | 3.13 |
|  | 75.11% | —Ln (9.10%) | 2.76 |
| Â | 82.95%Â | .Ln (8.20%)Â | 2.33Â |
|  | 89.40% | —Ln (7.00%) | 1.82 |
|  | 96.71% | —Ln (4.90%) | 0.61 |
| Henderson | aw | X | Ln [—Ln (1 — aw)] — Ln (T + C) |
|  | 11.19% | —4.9% | —8.36 |
|  | 23.40% | —7.00% | —7.55 |
|  | 33.30% | —8.20% | —7.13 |
|  | 43.15% | —9.10% | —6.80 |
|  | 55.87% | —10.20% | —6.43 |
|  | 74.13% | —10.70% | —5.93 |
|  | 75.53% | —11.90% | —5.89 |
|  | 82.79% | —14.04% | —5.66 |
|  | 91.07% | —15.87% | —5.35 |
|  | 97.89% | —16.34% | —4.88 |
|  | 11.17% | —4.67% | —8.36 |
|  | 21.37% | —6.30% | —7.65 |
|  | 32.00% | —7.70% | —7.18 |
|  | 42.55% | —8.43% | —6.82 |
|  | 49.72% | —8.88% | —6.60 |
|  | 66.08% | —10.30% | —6.15 |
|  | 75.11% | 11.10% | —5.90 |
|  | 82.95% | —12.30% | —5.66 |
|  | 89.40% | —15.09% | —5.42 |
|  | 96.71% | —15.90% | —5.00 |
Fuente: datos propios.
Determinación de pares de datos a partir de resultados empÃricos, para los métodos de Henderson y Chung-Pfost
|  | n | Xi | Yi | Xi Yi | Xi2 | Yi2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Chung-Pfost | 1 | —0.05 | 4.79 | —0.23 | 0.00 | 22.96 |
|  | 2 | —0.07 | 4.38 | —0.31 | 0.00 | 19.19 |
|  | 3 | —0.08 | 4.10 | —0.34 | 0.01 | 16.83 |
|  | 4 | —0.09 | 3.83 | —0.35 | 0.01 | 14.70 |
|  | 5 | —0.10 | 3.47 | —0.35 | 0.01 | 12.02 |
|  | 6 | —0.11 | 2.80 | —0.30 | 0.01 | 7.85 |
|  | 7 | —0.12 | 2.74 | —0.33 | 0.01 | 7.49 |
|  | 8 | —0.14 | 2.34 | —0.33 | 0.02 | 5.48 |
|  | 9 | —0.16 | 1.64 | —0.26 | 0.03 | 2.68 |
|  | 10 | —0.16 | 0.16 | —0.03 | 0.03 | 0.03 |
|  | 11 | —0.05 | 4.79 | —0.22 | 0.00 | 22.96 |
|  | 12 | —0.06 | 4.44 | —0.28 | 0.00 | 19.72 |
|  | 13 | —0.08 | 4.14 | —0.32 | 0.01 | 17.12 |
|  | 14 | —0.08 | 3.85 | —0.32 | 0.01 | 14.82 |
|  | 15 | —0.09 | 3.65 | —0.32 | 0.01 | 13.31 |
|  | 16 | —0.10 | 3.13 | —0.32 | 0.01 | 9.77 |
|  | 17 | —0.11 | 2.76 | —0.31 | 0.01 | 7.60 |
|  | 18 | —0.12 | 2.33 | —0.29 | 0.02 | 5.43 |
|  | 19 | —0.15 | 1.82 | —0.27 | 0.02 | 3.31 |
|  | 20 | —0.16 | 0.61 | —0.0969 | 0.02528 | 0.37177 |
|  | 21 | —2.09 | 61.76 | —5.58 | 0.24 | 223.64 |
| Henderson | 1 | 1.84 | —8.36 | —15.37 | 3.38 | 69.89 |
|  | 2 | 1.89 | —7.55 | —14.28 | 3.58 | 57.01 |
|  | 3 | 2.10 | —7.13 | —14.95 | 4.39 | 50.87 |
|  | 4 | 2.20 | —6.80 | —14.95 | 4.83 | 46.24 |
|  | 5 | 2.27 | —6.43 | —14.61 | 5.17 | 41.34 |
|  | 6 | 2.42 | —5.93 | —14.35 | 5.86 | 35.13 |
|  | 7 | 2.47 | —5.89 | —14.56 | 6.12 | 34.65 |
|  | 8 | 2.56 | —5.66 | —14.52 | 6.57 | 32.07 |
|  | 9 | 2.76 | —5.35 | —14.78 | 7.64 | 28.59 |
|  | 10 | 3.06 | —4.88 | —14.95 | 9.39 | 23.80 |
|  | 11 | 1.81 | —8.36 | —15.15 | 3.28 | 69.92 |
|  | 12 | 1.84 | —7.65 | —14.09 | 3.39 | 58.58 |
|  | 13 | 1.96 | —7.18 | —14.10 | 3.85 | 51.57 |
|  | 14 | 2.13 | —6.82 | —14.51 | 4.53 | 46.49 |
|  | 15 | 2.23 | —6.60 | —14.76 | 4.99 | 43.60 |
|  | 16 | 2.28 | —6.15 | —14.04 | 5.21 | 37.83 |
|  | 17 | 2.40 | —5.90 | —14.14 | 5.75 | 34.79 |
|  | 18 | 2.50 | —5.66 | —14.15 | 6.26 | 32.01 |
|  | 19 | 2.66 | —5.42 | —14.41 | 7.07 | 29.38 |
|  | 20 | 3.02 | —5.00 | —15.08 | 9.10 | 25.01 |
|  | 21 | 46.42 | —128.72 | —291.75 | 110.36 | 848.77 |
Fuente: datos propios.
De tal forma utilizamos los resultados finales de los porcentajes de adsorción de humedad de cada una de las diez muestras para aplicarlos en los modelos mencionados anteriormente y confrontarlo con su valor de humedad correspondiente a la sal que haya sido expuesto, formamos pares asociados permitiéndonos desarrollar el método de los mÃnimos cuadrados para la obtención de los parámetros caracterÃsticos de cada modelo (tablas 3 y 4).
En el análisis de los resultados de la tabla 5, se obtienen los valores de contenido de humedad en equilibrio a cada temperatura. La construcción de los pares para poder aplicar el método de los mÃnimos cuadrados se configura de la siguiente manera. Los valores de humedad generados por las sales se le aplican las expresiones.
Contenidos de humedad de equilibrio en diferentes biomasas, método de sales saturadas
|  | 15°C |  | 35°C |  |
|---|---|---|---|---|
| LiCl | 11.19% | 4.90% | 11.17% | 4.67% |
| CH3COOKÂ | 23.40%Â | 7.00%Â | 21.37%Â | 6.30%Â |
| MgCl2Â | 33.30%Â | 8.20%Â | 32.00%Â | 7.70%Â |
| K2CO3Â | 43.15%Â | 9.10%Â | 42.55%Â | 8.43%Â |
| Mg(NO3)2Â | 55.87%Â | 10.20%Â | 49.72%Â | 8.88%Â |
| SrCl2Â | 74.13%Â | 10.70%Â | 66.08%Â | 10.30%Â |
| NaCl | 75.53% | 11.90% | 75.11% | 11.10% |
| KCl | 82.79% | 14.04% | 82.95% | 12.30% |
| BaCl | 91.07% | 15.87% | 89.40% | 15.09% |
| K2SO4Â | 97.89%Â | 16.34%Â | 96.71%Â | 15.90%Â |
Fuente: datos propios.
La disposición correlativa de los resultados para formar los pares se diferencia según la modelización lineal de los dos modelos; mientras que en el modelo de Henderson se toma el negativo del logaritmo invertido respecto a la recepción de los datos, en el modelo de Chung-Pfost se hace correlativa, tomando el mismo valor directo en valor negativo.
Una vez calculados los parámetros de ajuste según las fórmulas:
Parámetros Chung-Pfost:n=Sxx Sy−SxSxyN Sxx−SxSx=20×5−,58−2,09×61,7620×0,24−×−2,09×−2,09=35.18
Fórmula 7, resultados de pendiente y coeficiente anexo, para cálculo por regresión en mÃnimos cuadrados parámetros de la modelización de Chung-Pfost Parámetros de Henderson:
Fórmula 8, resultados de pendiente y coeficiente anexo, para cálculo por regresión en mÃnimos cuadrados parámetros de la modelización de Henderson.
Una vez calculadas la pendiente y la constante de la recta de ajuste de los parámetros de cada modelo, se recurre a las expresiones matemáticas lineales para determinar los parámetros caracterÃsticos.
Fórmula 9, fórmulas de Henderson y Chung-Pfost, remarcando el posicionamiento de sus parámetros caracterÃsticos.
En el caso de la fórmula de Henderson, el valor de C2 tiene como resultado el mismo que la pendiente de ajuste, mientras que en F de Chung-Pfost el valor es la inversa de la pendiente.
Para el segundo parámetro de los modelos, en el caso de Henderson el valor de C3 se eleva al número e; por otro lado, en Chung-Pfost la relación entre la inversa de la pendiente y la inversa del valor auxiliar de la recta da E.
ConclusionesLa precisión y la fiabilidad de un modelo matemático son fundamentales para que cumplan su función; la naturaleza de la composición de la fórmula es decisiva a la hora de encontrar su aplicación directa.
Mientras que la fórmula de Henderson pertenece a un modelo exponencial inverso, la expresión de Chung-Pfost corresponde a uno lineal, lo que condiciona la capacidad de representar parámetros de sorción de humedad con un error por debajo del 10%.
Mientras el modelo de Henderson está limitado en la modelización de biomasas que tengan sus puntos máximos de humedad de equilibrio reducido, el modelo de Chung-Pfost no es aconsejado para biomasas elevadas en puntos máximos de adsorción.
Como vemos en la figura 1, la pendiente es mayor en la modelización de Henderson, lo que indica que las mediciones son más agudas, pero no por eso más o menos precisas.
Agradecimientos
Este trabajo ha sido posible gracias al apoyo de la empresa Sedam Management, Instituto Tecnológico de Canarias y Tragsa (Empresa de transformación agraria S.A), Oliver González Arias, Miguel Pérez Afonso, Gonzalo Pierna-Vieja Izquierdo, Julián Muñoz de la Fuente.